Применение методов правых и левых прямоугольников для решения задач численного интегрирования

Методы левых и правых прямоугольников численного интегрирования для вычисления интегралов. Геометрический смысл определённого интеграла. Программная реализация, блок-схемы алгоритмов. Результат работы тестовой программы. Решение задачи с помощью ЭВМ.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

4

Размещено на

Федеральное агентство по образованию

ФГОУ СПО «Уфимский авиационный техникум»

Курсовая работа

Применение методов правых и левых прямоугольников для решения задач численного интегрирования

по дисциплине «Численные методы»

Студент Д.Р. Мусакалимов

Руководитель работы Э.Р. Ахматсафина

Содержание

Введение

1. Теоретическая часть

1.1 Формулы прямоугольников

2. Постановка и решение задачи

2.1 Формулировка задачи

2.2 Решение задачи методом левых прямоугольников

2.3 Решение задачи методом правых прямоугольников

3. Программная реализация

3.1 Блок-схемы

3.2 Тексты программ

3.3 Тестовый пример

3.4 Решение задачи с помощью ЭВМ

Заключение

Список литературы

Введение

Многие инженерные задачи, задачи физики, геометрии и многих других областей человеческой деятельности приводят к необходимости вычислять определенный интеграл вида , где f(x) - подынтегральная функция, непрерывная на отрезке [a;b].

Если интеграл от данной функции не может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница, или если функция f(x) задана графически или таблицей, то для вычисления определенного интеграла применяют приближенные формулы. Для приближенного вычисления интеграла существует много численных методов, таких как:

метод прямоугольников;

трапеций;

Симпсона и др.

В данной работе рассматривается формула левых прямоугольников и формула правых прямоугольников.

Главная особенность обучения основам численных методов, которая все отчетливее проявляется в последние годы, связана с интенсификацией процессов использования различных специализированных математических пакетов и систем программирования вычислительных методов как инструмента решения прикладных задач.

Цель заданной работы - освоить методы левых и правых прямоугольников численного интегрирования для вычисления интегралов; закрепление и систематизация полученных знаний, их применение при решении конкретных практических задач; закрепление навыков работы со справочной литературой и нормативными документами.

Данная курсовая работа состоит из трех частей. В первой части рассматривается теория двух рассматриваемых методов левых и правых прямоугольников. Во второй части мы используем данную теоретическую часть при вычислении примера. В третьей части составляем программы, блок-схемы алгоритмов по двум данным методам.

1. Теоретическая часть

Необходимость вычисления значений определенных интегралов при моделировании возникает достаточно часто.

Формула Ньютона-Лейбница

(1)

имеет ограниченное применение:

во-первых, не позволяет вычислить интегралы от таблично заданной подынтегральной функции f(x);

во-вторых, не всякая подынтегральная функция имеет первообразную F(x).

Численные методы интегрирования универсальны: позволяют вычислить значение определенного интеграла непосредственно по значениям подынтегральной функции f(x), независимо от способа ее задания или вида аналитического выражения.

Геометрический смысл определенного интеграла - площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью OX, кривой f(x), и прямыми x=a и x=b (Рис.1.).

Численные методы интегрирования основаны на различных способах оценки этой площади, поэтому полученные формулы численного интегрирования называются квадратурными (формулами вычисления площади).

Рассмотрим получение и применение простейших формул.

Рисунок 1. Геометрический смысл определённого интеграла

Отрезок [a, b] делят на n необязательно равных частей - элементарных отрезков. Принято такое деление отрезка называть сеткой, а точки x0, x1,…, xn - узлами сетки.

Если сетка равномерная, то - шаг сетки, при интегрировании - шаг интегрирования, а координата i-го узла вычисляется по формуле:

, (2)

Полная площадь криволинейной трапеции состоит из n элементарных криволинейных трапеций - элементарных площадей:

(3)

1.1 Формулы прямоугольников

Площадь i-той элементарной трапеции можно оценить (приближенно вычислить) как площадь прямоугольника со сторонами и fi. Тогда и значение интеграла:

(4)

Рисунок 2. Оценка элементарной площади Si левым прямоугольником.

Полученная формула называется формулой левых прямоугольников, т.к. для оценки площади использовалось левое основание элементарной криволинейной трапеции.

Аналогично можно получить формулу правых прямоугольников:

Рисунок 3. Оценка элементарной площади Si правым прямоугольником.

Для данного случая и тогда значение интеграла:

 (5)

Эти формулы не находят широкого применения, т.к. имеют большую погрешность, пропорциональную величине шага

Как появляется эта погрешность, видно на рисунках.

2. Постановка и решение задачи

2.1 Формулировка задачи

Применение методов правых и левых треугольников для решения задач численного интегрирования (на примере вычисления ).

2.2 Решение задачи методом левых прямоугольников

с точностью =0.01

Вычислим интеграл I1 по формуле метода левых прямоугольников (4):

h1=1

I1=1*((3*12+sin1):12)=1*((3+0.841):1)=3.0841

Уменьшим шаг вдвое и вычислим интеграл I2 по формуле (4):

h2=

I2=0.5*(3.841+(6.75+0.997):2.25)=3.642

Вычислим критерий для интегралов I1 и I2, так как I2?1, то критерий вычисляется по формуле:

=0.055>

Полученный критерий не выполняется, вычисляем интеграл I3, уменьшая шаг вдвое:

h3=

I3=0.25*(3.841+(4.688+0.949):1.563+3.443+(9.188+0.984):3.063)=3.553

Вычислим критерий для интегралов I2 и I3, так как I3?1, то критерий вычисляется по формуле:

=0.0.25>

Полученный критерий не выполняется, вычисляем интеграл I4, уменьшая шаг вдвое:

h4=

I4=0.125*(3.841+(3.797+0.902):1.266+3.607+(5.672+0.981):1.891+3.443+(7.922+0.999):2.641+3.321+

+(10.547+0.654):3.516)=3.511

Вычислим критерий для интегралов I3 и I4, так как I4?1, то критерий вычисляется по формуле:

=0.0128>

Полученный критерий не выполняется, вычисляем интеграл I5, уменьшая шаг вдвое:

h5=

I5=0.0625*(3.841+(3.387+0.874):1.129+3.712+(4.231+0.927):1.4102+3.607+(5.168+0.967):1.723+3.518+

+(6.199+0.991):2.066+3.443+(7.324+1):2.441+3.378+(8.543+0.993):2.848+3.321+(9.855+0.971):3.285+

+3.271+(11.262+0.934):3.754)=3.492

Вычислим критерий для интегралов I4 и I5, так как I5?1, то критерий вычисляется по формуле:

=0.005>

Полученный критерий выполняется, следовательно, мы вычислили заданный интеграл с требуемой точностью.

Ответ=3.492 с точностью 0.01.

2.3 Решение задачи методом правых прямоугольников

с точностью =0.01

Вычислим интеграл I1 по формуле метода левых прямоугольников (4):

h1=1

I1=1*((3*22+sin2):22)=1*((12+0.909):4)=3.227

Уменьшим шаг вдвое и вычислим интеграл I2 по формуле (4):

h2=

I2=0.5*(3.227+(6.75+0.997):2.25)=3.335

Вычислим критерий для интегралов I1 и I2, так как I2?1, то критерий вычисляется по формуле:

=0.032>

Полученный критерий не выполняется, вычисляем интеграл I3, уменьшая шаг вдвое:

h3=

I3=0.25*(3.607+3.443+3.321+3.227)=3.3995

Вычислим критерий для интегралов I2 и I3, так как I3?1, то критерий вычисляется по формуле:

=0.0.19>

Полученный критерий не выполняется, вычисляем интеграл I4, уменьшая шаг вдвое:

h4=

I4=0.125*(3.712+3.607+3.518+3.443+3.378+3.321+3.271+3.227)=3.435

Вычислим критерий для интегралов I3 и I4, так как I4?1, то критерий вычисляется по формуле:

=0.01033>

Полученный критерий не выполняется, вычисляем интеграл I5, уменьшая шаг вдвое:

h5=

I5=0.0625*(3.774+3.712+3.658+3.607+3.561+3.518+3.4801+3.443+3.41+3.378+3.348+3.321+

+3.296+3.271+3.249+3.227)=3.453

Вычислим критерий для интегралов I4 и I5, т...