Построение и оценка математических моделей

Идентификация объектов методом наименьших квадратов. Анализ коэффициентов парной, частной и множественной корреляции. Построение линейной модели и модели с распределенными параметрами. Итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины

Государственное высшее учебное заведение

Приазовский государственный технический университет

Факультет информационных технологий

Кафедра автоматизации и компьютерных технологий

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

по курсовой работе по дисциплине “Идентификация и моделирование объектов автоматизации”

Выполнил: студентка группы МА-10 Адамова О.С.

Мариуполь 2013 г.

Реферат

Пояснительная записка содержит 42 страницы, 12 рисунков, 3 таблицы.

Целью работы является получение численного решения для конкретной задачи. Это решение должно быть получено в результате выполнения соответствующей программы на ЭВМ, написанной на языке высокого уровня, составленной самим обучающимся.

При выполнении работы необходимо предварительно ознакомиться с соответствующим методом и его алгоритмом. Выполнение программы на ЭВМ и анализ получения результатов составляют заключительную стадию работы. Реализация программы должна быть показана на контрольном примере с выдачей выходных документов на принтер.

Введение

Цель работы ? получение практических навыков в построении математических моделей технических объектов, написании программ для решении задач моделирования с использованием языка программирования С/С++ и математических пакетов MathCad или MatLab, изучение теоретических основ и особенностей выполнения параметрической идентификации различных моделей, реализации алгоритмов линейного и нелинейного регрессионного анализа, планирования эксперимента.

Задачи курсовой работы включают:

? получение студентами навыков самостоятельной работы;

? освоение технологии разработки и отладки программ, реализующих модели технических объектов;

? более качественное изучение нормативных материалов - государственных стандартов и технических условий;

? более полное изучение базовых средств языков программирования и получение навыков постановки и решения различных задач с помощью ПЭВМ;

? изучение и использование сред численного моделирования и статистического анализа (MatLab, StatGraph и т.п.).

Постановка задачи

В ходе выполнения курсовой работы необходимо разработать программы на Scilab, Matlab, C++, которая позволит:

? оценить построенную математическую модель;

? найти выходные параметры, описывающие математическую модель, и построить зависимости между входными и выходными характеристиками объекта;

? установить математическое соотношение между измеряемыми входами и выходами при заданных их измерениях во времени.

Входные и выходные данные

В данной работе входными данными являются начальные параметры (граничные условия), вводимые пользователем во время работы программы. Собственно, сама математическая модель, построенная согласно заданию на курсовой проект и являющаяся неизменной, представлена (описана) в качестве дифференциального уравнения либо матрицы и (начальных, граничных) параметров, которые даны для наблюдения за процессом на определенном промежутке времени либо участке (сечении).

Выходными данными являются реализованные графики (зависимости) меняющиеся во времени либо в пространстве координат, а также расчетное представление корреляционного анализа модели с использованием эксперимента.

1. Идентификация объектов методом наименьших квадратов

Вариант задания - 1

Матрица X

x1	x2	x3
8	5	1
2	4	3
4	9	7
2	2	4
2	3	1

Матрица Y

y
20,8
14,2
32,3
11,5
8,2

Для линейных уравнений вида:

строится следующая система нормальных уравнений, решение которой позволяет получить оценки параметров регрессии:

Постановка задачи:

1. Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизированное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизированных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.

2. Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.

3. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.

4. С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации

5. С помощью t-критерия Стьюдента оценить статистическую значимость коэффициентов чистой регрессии.

6. Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.

Для наших данных система нормальных уравнений имеет вид:

Расчет коэффициентов множественной линейной регрессии методом определителей (по формуле Крамера):



Уравнение множественной регрессии:

Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится не основе F-критерия Фишера, которому предшествует дисперсионный анализ. Согласно основной идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов отклонений переменной от среднего значения раскладывается на две части - объясненную и необъясненную:



- общая сумма квадратов отклонений;

- сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией (факторная сумма квадратов отклонений);

- остаточная сумма квадратов отклонений, характеризующая влияние неучтенных в модели факторов.

Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину F-критерия Фишера:

Фактическое значение F-критерия Фишера сравнивается с табличным значением при уровне значимости и степенях свободы и При этом, если фактическое значение F-критерия Фишера больше табличного, то уравнение признается статистически значимым:

Качество модели, исходя из относительных отклонений по каждому наблюдению, признается хорошим, т.к. средняя ошибка аппроксимации не превышает 10 %.

Средние коэффициенты эластичности для линейной регрессии:

Средние коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов в среднем изменится результат при изменении соответствующего фактора на 1 %. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат фактора чем факторов

Показателем интенсивности связи служит значение коэффициента корреляции. Считается, если он равен 1, то взаимозависимость признаков является строгой (полной); если его значение находится в интервале от 1 до 0,8, то это свидетельствует о сильной их взаимозависимости; если в интервале от 0,7 до 0,3 - об умеренной (не ярко выраженной) взаимозависимости, а если же оно лежит в интервале от 0,2 до 0,0, то мы имеем дело со слабой или нулевой взаимозависимостью.

Коэффициенты парной корреляции:



Коэффициент парной корреляции указывает на сильную взаимозависимость фактора и результата При такой зависимости рекомендуется исключить из рассмотрения факторы с не ярко выраженной взаимозависимостью.

Коэффициент множественной корреляции определим через матрицы парных коэффициентов корреляции:

? определитель матрицы парных коэффициентов корреляции

? определитель матрицы межфакторной корреляции



Нескорректированный коэффициент множественной детерминации оценивает долю дисперсии результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата и рассчитывается как квадрат коэффициента множественной корреляции:

Эта доля составляет 99,9 % и указывает на высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов (тесную связь факторов с результатом).

Скорректированный коэффициент множественной детерминации определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий:

Оба коэффициента указывают на высокую детерминированность результата...