Постановка задачі оптимізації

Оптимізація як цілеспрямована діяльність, що полягає в здобутті найкращих результатів за відповідних умов: критерії, постановка задачі, основні завдання. Розгляд методів дослідження функцій класичного аналізу. Особливості застосування принципу максимуму.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Вступ

оптимізація класичний аналіз

Оптимізація в широкому розумінні застосовується в науці, техніці і в будь-якій іншій галузі людської діяльності. Оптимізація -це цілеспрямована діяльність, що полягає в здобутті найкращих результатів за відповідних умов. Пошуки оптимальних рішень привели до створення спеціальних математичних методів і вже у XVIII столітті були закладені математичні основи оптимізації (варіаційне числення, чисельні методи та ін.).Проте до другої половини XX століття методи оптимізації в багатьох галузях науки і техніки застосовувалися рідко, оскільки практичне використання математичних методів оптимізації вимагало величезної обчислювальної роботи, яку без ЕОМ реалізувати було важко, а у ряді випадків - неможливо. Особливо великі труднощі виникали при вирішенні завдань оптимізації процесів в хімічній технології із-за великого числа параметрів і їх складного взаємозв'язку між собою[1].

На сьогоднішній день за наявності ЕОМ це завдання помітно спрощується. Сучасні хімічні підприємства використовують різноманітні методи оптимізації для пошуку оптимальних значень параметрів. Це є одним з важливих завдань, що вирішуються при створенні нових технічних систем, управлінні виробництвом або технологічними процесами [2].



Постановка задачі оптимізації

Оптимізація - це цілеспрямована діяльність, що полягає в здобутті найкращих результатів за відповідних умов[3].

Постановка задачі оптимізації передбачає:

1.Наявність об'єкту та мети оптимізації. Формулювання кожної задачі оптимізації повинне вимагати екстремального значення лише однієї величини, тобто одночасно системі не повинно приписуватися два і більше критерії оптимізації, оскільки практично завжди екстремум одного критерію не відповідає екстремуму іншого.

Типовим прикладом неправильної постановки задачі оптимізації є отримання максимальної продуктивності при мінімальній собівартості. Помилка полягає в тому, що ставиться завдання пошуку оптимуму двох величин, що по суті перечать одна одній.

Правильна постановка задачі наступна:

а) отримати максимальну продуктивність при заданій собівартості;

б) отримати мінімальну собівартість при заданій продуктивності.

У першому випадку критерій оптимізації - продуктивність, а в другому - собівартість.

2. Наявність ресурсів оптимізації, під якими розуміють можливість вибору значень деяких параметрів об'єкту, що оптимізується. Об'єкт повинен володіти певними мірами свободи - діями, що управляють.

3. Можливість кількісної оцінки величини, що оптимізується, оскільки лише в цьому випадку можна порівнювати ефекти від вибору тих або інших дій, що управляють.

4. Облік обмежень.

Величина, що зазвичай оптимізується, пов'язана з економічністю роботи даного об'єкту (апарат, цех, завод ). Варіант роботи об'єкту, що оптимізується, повинен оцінюватися кількісною мірою - критерієм оптимальності.

Критерієм оптимальності називається кількісна оцінка якості об'єкту, що оптимізується. На підставі вибраного критерію оптимальності складається цільова функція, що є залежністю критерію оптимальності від параметрів, що впливають на її значення. Вигляд критерію оптимальності або цільової функції визначається конкретним завданням оптимізації.

Таким чином, завдання оптимізації зводиться до знаходження екстремуму цільової функції. Найбільш загальною постановкою оптимального завдання є вираження критерію оптимальності у вигляді економічної оцінки (продуктивність, собівартість продукції, прибуток, рентабельність). Проте в окремих випадках, коли об'єкт є частиною технологічного процесу, не завжди вдається виділяти прямий економічний показник, який би повністю характеризував ефективність роботи даного об'єкту. У таких випадках критерієм оптимальності може служити технологічна характеристика, що побічно оцінює економічність роботи агрегату (час контакту, вихід продукту, міра перетворення, температура). Наприклад,встановлюється оптимальний температурний профіль, тривалість циклу - «реакція - регенерація». Але у будь-якому випадку критерій оптимальності має економічну природу, кількісну оцінку і відображає найбільш істотні сторони процесу.

У тому випадку, коли випадкові обурення невеликі і їх дію на об'єкт можна не враховувати, критерій оптимальності може бути представлений як функція вхідних, вихідних параметрів і таких, що управляють.

(1.1)

Оскількито при фіксованих можна записати:

(1.2)



При цьому зміна значень параметрів, що управляють, двояко позначається на величині:

- прямо, оскільки параметри, що управляють безпосередньо входять у вираження критерію оптимізації;

- побічно - через зміну вихідних параметрів процесу, які залежаться від керівників.

Як правило, для конкретних завдань оптимізації хімічних виробництв критерій оптимальності не може бути записаний у вигляді аналітичного вираження. Для оптимізації замість математичної моделі можна використовувати і сам об'єкт, проте оптимізація дослідним шляхом має ряд істотних недоліків:

а) необхідний реальний об'єкт;

б) необхідно змінювати технологічний режим в значних межах, що не завжди можливо;

в) тривалість випробувань і складність обробки даних. Наявність математичної моделі (за умови, що вона досить надійно описує процес) дозволяє значно простіше вирішити завдання оптимізації аналітичним або обчислювальним методами[1].

Характеристика методів вирішення завдань оптимізації

При вирішенні конкретної задачі оптимізації дослідник перш за все повинен вибрати математичний метод, який приводив би до кінцевих результатів з найменшими витратами на обчислення або ж давав можливість отримати найбільший об'єм інформації про майбутнє рішення. Вибір того або іншого методу в значній мірі визначається постановкою оптимальної задачі, а також математичною моделлю, яка використовується для оптимізації об'єкту.

В даний час для вирішення оптимальних завдань застосовують в основному наступні методи: 1) методи дослідження функцій класичного аналізу; 2) методи, засновані на використанні невизначених множників Лагранжа; 3) варіаційне числення; 4) динамічне програмування; 5) принцип максимуму; 6) лінійне програмування; 7) нелінійне програмування.

Як правило, не можна рекомендувати який-небудь один метод, який можна використовувати для вирішення всіх без виключення задач, що виникають на практиці. Одні методи в цьому відношенні є загальнішими, інші -- менш загальними. Цілу групу методів (методи дослідження функцій класичного аналізу. метод множників Лагранжа, нелінійне програмування) на певних етапах рішення оптимальної задачі можна застосовувати у поєднанні з іншими методами, наприклад динамічним програмуванням і принципом максимуму.

Деякі методи спеціально розроблені або найкраще підходять для вирішення оптимальних завдань з математичними моделями певного вигляду. Так, математичний апарат лінійного програмування спеціально створений для вирішення завдань з лінійними критеріями оптимальності і лінійними обмеженнями на змінні і дозволяє вирішувати більшість завдань, сформульованих в такій постановці.

Динамічне програмування ідеально пристосоване для вирішення завдань оптимізації багатостадійних процесів, особливо завдань, в яких на кожній стадії є невелике число змінних.

Методи дослідження функцій класичного аналізу

Методи дослідження функцій класичного аналізує найбільш відомими методами вирішення нескладних оптимальних завдань які відомі з курсу математичного аналізу. Звичайною областю використання даних методів є завдання з відомим аналітичним вираженням критерію оптимальності, що дозволяє знайти не дуже складне, також аналітичне вираження для похідних. Отримані прирівнюванням до нуля похідні рівняння, що визначають екстремальні рішення оптимальної задачі, украй рідко удається вирішити аналітичним шляхом, тому, як, правило, застосовують обчислювальні машини. При цьому треба вирішити систему кінцевих рівнянь, найчастіше нелінійних, для чого доводиться використовувати чисельні методи, аналогічні методам нелінійного програмування.

Додаткові труднощі при рішенні оптимальної задачі методами дослідження функцій класичного аналізу виникають унаслідок того, що система рівнянь, що отримується в результаті їх використання, забезпечує лише необхідні умови оптимальності. Тому всі рішення даної системи (а їх може бути і декілька) мають бути перевірені на достатність. В результаті такої перевірки спочатку відкидають рішення, які не визначають екстремальні значення критерію оптимальності, а потім серед екстремальних рішень, що залишаються, вибирають рішення, що задовольняє умову оптимального завдання, тобто найбільшому або найменшому значенню критерію оптимальності залежно від постановки задачі.

Методи дослідження за наявності обмежень на область зміни незалежних змінних можна використовувати лише для пошуку екстремальних значень усередині вказаної області. Особливо це відноситься до задач з великим числом незалежних змінних (практично більше двох), в яких аналіз значень критерію оптимальності...