Теорема Остроградського-Гаусса, потенціальний характер електростатичного поля та діелектрики в електричному полі
Тип: учебное пособие
Категория: Физика
Планлекції з навчальної дисципліниФ І З И К АТема: "ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСЬКОГО-ГАУССА"ВступОбчислення напруженості поля системи електричних зарядів з допомогою принципу суперпозиції електростатичних полів можливо значно спростити, використовуючи вивчену німецьким ученим К. Гауссом теорему, що визначає потік вектора напруженості електричного поля через довільну замкнену поверхню (загальне визначення потоку для будь-якого вектора було дано Полтавським математиком Остроградським).На основі теореми розраховується електричне поле для заряджених тіл, що мають симетрію.Поняття потоку вектора електричного зміщенняНехай в однорідному електричному полі розміщена площина S так, що вектор зміщення утворює з нормаллю кут (рис. 1).Рис. 1Потоком вектора зміщення називається добуток нормальної складової цього вектора (поверхні) і величини площадкиале , тому маємо або .Якщо поле неоднорідне, то поверхнею розбивають на нескінченно малі ділянки.Тоді .А потік через всю довільну поверхню визначитьсяТеорема Гауса-Остроградського і її застосування для розрахунку електричних полівСпочатку розрахуємо потік вектора напруженості поля точкового заряду q через сферичну поверхню радіусом r.Рис. 2Потік вважається додатнім; якщо лінії напруженості виходять із поверхності і від’ємним для ліній, що входить у поверхню. Напруженість поля в точках сферичної поверхні стала по величині дорівнює:Вектори напруженості поля у всіх точках співпадають з напрямком нормалі.Тому потік вектора напруженості через сферичну поверхню дорівнюєПідставимо значення Е і S.;Таким чином потік вектора напруженості поля точкового заряду q через сферичну поверхню пропорційний q.Цей висновок узагальнюється теоремою Гауса – Остроградського на будь-яку систему зарядів, оточених довільно замкненою поверхнею.Теорема. Потік вектора електричної напруженості через будь-яку замкнену поверхню пропорційний алгебраїчній сумі зарядів, охоплюваних цією поверхнею.Наприклад. Заряди , оточені довільною замкнутою поверхнею.Рис. 3Як бачимо з рисунку 3 заряди і створюють додатки потоку, а від’ємний потік через замкнуту поверхню: тому повний потік вектора напруженості через цю поверхню дорівнює.Заряд , що знаходиться поза замкнутою поверхнею потоку через неї не створює.У загальному випадку теорема Остроградського – Гауса запишеться:Вектор зміщення в точках сферичної поверхні має вираз:,...
