Теорема Гаусса для электрического поля

Свойства силовых линий. Поток вектора напряженности электрического поля. Доказательство теоремы Гаусса. Приложение теоремы Гаусса к расчету напряженности электрических полей. Силовые линии на входе и на выходе из поверхности. Обобщенный закон Кулона.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Размещено на

Федеральное агентство по образованию

АРХАНГЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ.

Реферат на тему

«Теорема Гаусса для электрического поля»

Работу выполнил :

студент СФ I-1

Воронков С.А.____

Работу принял:

старший преподаватель

Махин В.Э._______

Архангельск, 2006

Содержание:

Свойства силовых линий

Доказательство теоремы Гаусса

Приложение теоремы Гаусса к расчету напряженности электрических полей

Список используемых источников

1. Свойства силовых линий

Любое силовое поле является векторным, поэтому его можно изображать. Для этого используются силовые линии.

Силовые линии на практике используются в соответствии со строго определенными положениями. Рассмотрим эти положения:

1. Силовые линии указывают направление линий напряженности электрического поля. В любой точке напряженность электрического поля направлена по касательной к силовой линии

2. Силовые линии проводятся так, чтобы величина вектора напряженности была пропорциональна числу линий, проходящих через единичную площадку, перпендикулярную этим линиям:

пропорционален N1, пропорционален N2.

3. Силовые линии начинаются только на положительных зарядах и заканчиваются только на отрицательных. Число силовых линий, выходящих из заряда или входящих в него, пропорционально величине заряда.

Размещено на

Размещено на

q1 q2

4. Силовые линии не пересекаются, т.к. это означало бы тот факт, что в одной точке пространства напряженность одного электрического поля принимает два различных значения (что является физическим абсурдом).

Поток вектора напряженности электрического поля.

Поток вектора напряженности равен скалярному произведению вектора на вектор

(1)

если E(s)=const. .

Вектор численно равен площади контура, через который проходит напряженность силовых линий поля. Тогда

, (1)'

где - угол между векторами и .

Если в пределах площади s поле неоднородное, ее разбивают на элементарные площади ds, в пределах которых поле считают однородным. Тогда: поток через ds определяется выражением:

,

отсюда полный поток:

. (2)

Особый интерес представляет поток вектора через замкнутую поверхность (поверхность, ограничивающую замкнутый объем). В этом случае уравнение (2) переписывается в виде:

, (2)'

Но в данной ситуации возникает неоднозначность в выборе нормали к рассматриваемой поверхности.

Для устранения данной неоднозначности условимся направлять вектор наружу ограниченного поверхностью объема. Тогда для силовой линии, выходящей из объема угол , . Для силовой линии входящей в объем , .



2

1

Легко показать, что поток вектора через замкнутую поверхность внешнего электрического поля всегда равен нулю, если внутри этой поверхности отсутствуют электрические заряды. В этом случае число силовых линий на входе и на выходе из поверхности одинаково:

Размещено на

Размещено на

Если внутри рассматриваемой замкнутой поверхности присутствуют электрические заряды, поток вектора напряженности не равен нулю, так как количество силовых линий на входе и на выходе различно:

Причем во всех случаях величина не зависит от расположения зарядов внутри замкнутой поверхности. Тогда: должна существовать простая количественная связь между потоком через замкнутую поверхность и величиной заряда, находящегося внутри данной поверхности. Эта связь устанавливается теоремой Гаусса.

2. Доказательство теоремы Гаусса

Теорема Гаусса устанавливает точное соотношение между потоком вектора через замкнутую поверхность и величиной заряда, находящегося внутри этой поверхности.

Вначале рассмотрим простейший случай: точечный заряд создает вокруг себя электрическое поле. Вычислим поток вектора данного заряда через замкнутую поверхность в виде сферы радиусом R с центром в данном заряде. По определению вектор численно равен количеству силовых линий, проходящих через единичную поверхность перпендикулярную к ней. Тогда полное число линий поля заряда q через поверхность () определяется выражением:

гаусс теорема напряженность электрический поле

Полученный вывод показывает: на любом расстоянии от заряда число силовых линий не меняется. Значит, силовые линии обязательно начинаются или заканчиваются на электрическом заряде. Теперь рассмотрим произвольную систему точечных зарядов с общим зарядом . Считаем, что система находится внутри некоторой замкнутой поверхности. Тогда поток через эту поверхность определяется формулой:

.

десь вектор - напряженность результирующего поля. Его можно представить по принципу суперпозиций следующим образом: . Тогда

,

где - поток вектора точечного поля точечного заряда .

. (3)

Мы получили математическую формулировку теоремы Гаусса для электрического поля. Обобщенный закон Кулона.

Фундаментальный смысл теоремы Гаусса состоит в следующем: в природе существуют изолированные электрические заряды.

3. Приложение теоремы Гаусса к расчету напряженности электрических полей

1. Напряженность поля равномерно заряженного, прямого, бесконечно длинного цилиндра (в пределе - нити).

Линейная плотность цилиндра .

Линейная плотность цилиндра .

Размещено на

Размещено на

Данная задача «распадается» на 3 случая:

1. Поле внутри цилиндра

2. Поле снаружи цилиндра

3. Поле на поверхности цилиндра

Все расчеты проведем используя теорему Гаусса.

1. r1<R. =0, так как внутри выделенной поверхности интнгрирования зарядов нет. Заряд распределен по поверхности цилиндра радиусом R.

2. r2>r. Возьмем поверхности интегрирования в Виле цилиндра длиной l и радиусом r2.

.

Поток вектора через выделенную поверхность имеет 2 составляющие: поток через боковую поверхность и через 2 поверхности торца.

По отношению к торцам силовые линии параллельны. Тогда полный поток равен потоку через боковую поверхность, то есть .

.

По теореме Гаусса этот поток пропорционален заряду, который находится внутри выделенной поверхности.

;;

.

3. r3=R.

.

В этом случае поверхность интегрирования выбираем как в предыдущем случае, но в непосредственной близости от заряженного цилиндра. Установим соотношение между и . Для нашего случая

; ;

,

то есть вблизи цилиндра поле однородное.

Список используемых источников:

1. Махин В.Э. Лекции по физике. Архангельск, 2006.

Размещено на Allbest.ru

...