Логика предикатов с одним переменным

Проблема разрешимости — эта проблема ставится для формул исчисления предикатов, лишённых символов постоянных предметов и символов индивидуальных предикатов. В последующем изложении предполагается, что рассматриваемые формулы таковы (если не сделано специальных оговорок).

Формула называется ложной или невыполнимой, если ни для какого поля ни при каких замещениях предикатов она не является истинной. Легко показать, что если формула U тождественно истинна, то формула ложна, и наоборот.

Постановка проблемы разрешимости для логики предикатов аналогична постановке этой проблемы для алгебры высказываний. Её решение и является целью данной курсовой работы. Итак, проблема ставится следующим образом: дать эффективный способ для определения — является ли данная формула выполнимой или нет.

Умея решать вопрос о выполнимости, мы тем самым сможем решать и вопрос об истинности любой формулы. В самом деле, если формула U истинна, то формула невыполнима, и обратно. Поэтому, доказав выполнимость или невыполнимость , мы тем самым проверим истинность U. Проблема разрешимости для логики предикатов является усилением проблемы разрешимости для исчисления высказываний, так как все формулы исчисления высказываний входят в число формул логики предикатов. Однако в то время как решение проблемы разрешимости для исчисления высказываний никаких трудностей не представляет, проблема разрешимости для логики предикатов оказалась связанной с серьёзными трудностями.

Современные исследования пролили свет на природу этих затруднений. В настоящее время представляется достаточно ясным, что решение этой проблемы в указанном смысле вообще невозможно. Иначе говоря, не может существовать никакого конструктивного правила, которое позволяло бы определять для любой формулы логики предикатов, является ли она тождественно истинной или нет. Для некоторых частных типов формул, однако, проблема разрешимости решается. Мы рассмотрим наиболее важный тип формул, для которых решение проблемы разрешимости может быть осуществлено, это формулы логики предикатов, зависящие от одного переменного.