Разработка цифрового преобразователя Гильберта

Определение преобразования Гильберта, особенности и варианты проектирования. Сущность метода частотной, быстрой свертки. Эффекты квантования параметров. Импульсная характеристика дискретного преобразования Гильберта, реализуемые фильтры, проектирование.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

ВВЕДЕНИЕ

В наше время в системах связи, передачи и приема информации наиболее перспективными являются цифровая форма представления сигнала и их преобразования.

Развитие цифровых систем передачи объясняется достоинствами этих систем по сравнению с аналоговыми системами передачи: высокой помехоустойчивостью, лучшему использованию пропускной способности при передаче дискретных сообщений и др.

В данной расчетной работе изложены материалы по функциональному преобразованию сигналов с использованием КИХ - структур и метода «быстрой» свертки. Приведены характерные примеры преобразования Гильберта.

Работа была выполнена с использованием компьютера и отладочного модуля.



1. ОБЗОРНАЯ ЧАСТЬ

1.1 Определение преобразования Гильберта

Преобразование Гильберта (ПГ)- это математическая процедура, выполняемая над действительным сигналом x(t) и дающая новый действительный сигнал xht(t). И наша цель состоит в том, чтобы xht(t) представлял собой сдвинутую на р/2 версию сигнала x(t).

Рисунок 1.1

где x(t) - исходный сигнал

xht(t)- преобразованный по Гильберту сигнал

H(щ) и h(t)- частотная и импульсные характеристики ПГ

X(t) и Xht(t)- преобразование Фурье исходного и ПГ сигнала

xht(t)=h(t)*x(t), спектр xht(t) определяется как Xht(щ)=H(щ)•X(щ),

где H(щ)= -j для щ>0

H(щ)= j для щ<0.

Это можно показать тем, что все компоненты xht(t) с положительными частотами равны компонентам x(t) c положительными частотами, сдвинутым по фазе на -900, а все компоненты xht(t) с отрицательными частотами равны компонентам x(t) c отрицательными частотами, сдвинутым по фазе на +900.

Преобразователь Гильберта имеет следующую идеальную импульсную g(t) характеристику и коэффициент передачи К(f)

(1.1)

Рисунок 1.2 - Идеальная импульсная характеристика преобразователя Гильберта

Коэффициент передачи(КП) идеального ПГ по определению равен:

К0(f)=-jsign(f)=exp{-jsign(f)}(1.2)

-1, x<0

гдеsign(x)=0, x=0

1, x>0

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ):

(1.3)



Рисунок 1.3 - АЧХ для идеального ПГ

Фаза Частотная Характеристика (ФЧХ):

ц(f)=argK0(f)= -р/2•sign(f)(1.4)

Рисунок 1.4 - ФЧХ для идеального ПГ

1.2 Проблемы разработки аналоговых ПГ

В теории сигналов важное значение имеют две теоремы - о свертке и произведении сигналов:

S12(t) = S1(t)*S2(t)-U1(f)•U2(f) (1.5)

S1•S2= U1(f)*U2(f) = U12(f) (1.6)



где *- обозначена операция интегральной свертки

- - отображение по Фурье

(1.7)

(1.8)

Пусть у нас есть линейная система с постоянными параметрами g(t) и K(f). (напр. - ПГ), тогда выходной сигнал будет равен:

(1.9)

Этот интеграл можно представить в виде суммы двух интегралов:

(1.10)

Здесь I1 - реакция системы на “прошлое” воздействие (до момента t), g(t) для t ?0; I2 - реакция система на “будущее” воздействие, g(t), для t<0, из чего можно сделать вывод, что для реальных аналоговых систем I2=0. Здесьработает принцип причинности: реальные системы не могут реагировать на “будущее” воздействие- g(t)=0, для t<0. Из всего этого можно сделать вывод, что в реальных системах из-за отсутствия I2 в Sвых точный результат свертки не достижим.

Еще одной особенностью идеальных характеристик цифровых систем (ПГ в частности) является их протяженность во времени. Эти характеристики бесконечны по времени и по частоте. Ясно, что реализовать их невозможно. В практических случаях используют усечение и сдвиг по времени:

(1.11)

Видно, что свертка (1.11) учитывает интеграл I2,а значит будет точнее результат свертки. Однако реализация этой свертки в аналоговом варианте опять же невозможна, поэтому для реализации ПГ переходят к дискретизации, где сдвиг и усечение возможно благодаря регистрам памяти.

1.3 Особенности и варианты проектирования цифровых ПГ

Существует два класса фильтров - КИХ- и БИХ-фильтры (с конечной и бесконечной импульсными характеристиками соответственно). Оба класса фильтров относятся к классу линейных систем с постоянными параметрами (ЛПП-системы), в которых входная Хn и выходная Уn последовательности связаны отношениями типа свертки. Если обозначить через gкотклик системы на единичный импульс (импульсную характеристику ЛПП-системы), то получим свертку вида:

, n=0,1,2… (1.13)



где Хn, Уn- отсчеты входного и выходного сигналов; Хn-k - выходной отсчет, задержанный на k интервалов дискретизации.

В КИХ-фильтре отсчет выходного сигнала определяется только значением входного сигнала, а в БИХ-фильтре - значениями входного и выходного сигналов. Это хорошо видно из линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами, которые описывают данный класс дискретных систем. В общем виде разностное уравнение, описывающее БИХ-фильтр, имеет вид:

. (1.14)

где М, N - постоянные целые числа; bk, ak - постоянные коэффициенты, описывающие конкретную систему; Хn, Уn - отсчеты входного и выходного сигналов.

КИХ- фильтр задается уравнением:

, (1.15)

Yn=b0·Xn+b1·Xn-1+b2·Xn-2+…+bn·Xn-N+1. (1.16)

Таким образом, для построения систем цифровой фильтрации требуется эффективная реализация соотношения типа дискретной свертки, которая раскладывается на операции умножения и суммирования, а также операции задержки.

1.3.1 Метод временной выборки

Структуры фильтров могут быть разнообразными и определяются формой представления обобщенной передаточной функции Dg(z):



, (1.17)

где Q - множество натуральных чисел. Если импульсная характеристика g(k)?0 для всех k€(-?,?), то схема не реализуема. Схема может быть реализуема в случае, если g(k)?0, k€Q=[0,?). Она будет относиться к БИХ-фильтрам (возможно неустойчивым). Наконец, если g(k)?0, k€Q=[0,N-1], то схема реализуема и устойчива (КИХ-фильтр).

Структура эквивалентной ЛПП-системы непосредственно следует из (1.17) и представлена на рисунке 1.5. Она иллюстрирует метод временной выборки (имеются в виду выборки импульсной характеристики).

Размещено на

Рисунок 1.5 - Структурная схема эквивалентной ЛПП-системы

Схема имеет вид нерекурсивного фильтра. Ее еще называют трансверсальным (поперечным) фильтром или ”схемой с многоотводной линией задержки” (при z=ej·щ·?t). Характерным является то, что передаточная функция (1.17) не имеет полюсов, поэтому схему рисунка 1.5 называют фильтром без полюсов. Ясно, что такой фильтр является КИХ-фильтром.

Достоинства КИХ-фильтров следующие: они всегда устойчивы; “шум”, обусловленный эффектами квантования, можно минимизировать; позволяют получать заданные АЧХ с линейными фазовыми характеристиками; в форме весовой обработки на основе алгоритмов БПФ они вполне конкурируют с БИХ-фильтрами. Недостатком является то, что наклон фазовой характеристики может быть равен только целому числу интервалов дискретизации (или включать еще половину интервала).

Ясно, что КИХ-фильтр дает наилучшие результаты аппроксимации, когда аналоговый прототип имеет импульсную характеристику конечной протяженности.

1.3.2 Метод частотной выборки

Большое разнообразие форм представления ЛПП-систем дает использование интерполяционных формул для передаточной функции, значения которой Dg(zk) заданы или рассчитаны в фиксированных точках Zk. Наиболее распространенной является формула Лагранжа. Точки Zkудобно задать равномерно расположенными на единичной окружности

, k=0,1,…,N-1. (1.18)

В этом случае интерполяционная формула Лагранжа дает:

. (1.19)

Соответствующая структура ЛПП-системы приведена на рисунке 1.6.



Рисунок 1.6 - Структурная схема ЛПП-системы

Эту схему называют схемой на основе частотной выборки, так как исходными данными являются значения передаточной функции Dg(ejщ)=K?(щ) в точках Zk=ej?щk, где ?щ=2р/N, k=0,1,…,N-1.

Отметим особенность схемы, приведенной на рисунке 1.6. В силу указанной эквивалентности в целом она не должна иметь полюсов. Следовательно, полюса параллельных звеньев должны компенсироваться нулями цепи с передаточной функцией 1-Z-N. Однако реально в результате арифметических операций с конечной точностью этой компенсации полностью не происходит. Практически схема будет иметь нули и полюса, то есть импульсная характеристика будет неограниченной (БИХ-фильтр).

Преимущества данной схемы начинают проявляться в тех случаях, когда синтезируются узкополосные фильтры. При этом большинство весовых коэффициентов D(zi)/N в силу малости можно отбросить и...