Математическая модель замкнутой электромеханической системы автоматического управления

Передаточная функция разомкнутой системы. Анализ устойчивости системы автоматического управления. Амплитудно-фазовая частотная характеристика системы. Критерий устойчивости Гурвица. Анализ переходного процесса при подаче ступенчатого воздействия.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Размещено на

ДГМА

кафедра АПП

ЗАДАНИЕ НА ПРОЕКТИРОВАНИЕ

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Вариант 12

Условие производственной ситуации:

Наименование показателя элемента:	Значения
Исполнительный двигатель с усилителем
ЦАП
Регулятор (микро-ЭВМ)
КО= КУ КД КЦАП	12
Период квантования Т, с	0,1
Пкрвоначальные коэффициенты настроек регулятора	КП	1,4
	КИ	1,0
	КD	0,45
Время регулирования, не более, с	1,5
Коэффициент ошибки по положению	равен нулю

Примечание.

По приведённым данным разработать и исследовать математическую модель замкнутой электромеханической САУ по заданным требованиям к качеству её работы.

1. Краткое описание системы

Дана структурная схема системы управления:

Рис.1 Структурная схема

Где К - суммирующее устройство;

мЭВМ - микро-ЭВМ (сбор аналоговой и цифровой информации, обработка информации и формирование управляющих воздействий, вывод управляющих воздействий на объект);

ЦАП - цифро-аналоговый преобразователь;

АЦП - аналогово-цифровой преобразователь;

У - усилитель;

М - исполнительный механизм;

Д - электродвигатель

Рис.2 Функциональная схема

2. Построение математической модели САУ

Импульсную САУ можно представить как систему непрерывного действия, в которой происходит периодическое прерывание контура, осуществляемое импульсным элементом (ИЭ), Непрерывная часть (НП) импульсной системы играет роль фильтра низких частот.

Рис.3 Математическая модель САУ

, ;

3. Анализ устойчивости непрерывной САУ

Устойчивость замкнутой САУ проверяется по логарифмическим амплитудным и фазовым частотным характеристикам без применения корректирующего звена.

Рис.4 Структурная схема САУ для анализа устойчивости.

Передаточная функция разомкнутой системы:



Передаточная функция замкнутой системы:

Определитель Гурвица по коэффициентам знаменателя:

Все определители > 0. Делаем предположение, что система устойчива.

Для проверки построим амплитудно-фазовую частотную характеристику системы:



Рис.5 АФЧХ непрерывной системы.

Из Рис.5 видно, что годограф не охватывает точку (-1, j0). Делаем вывод, что система устойчива.

4. Анализ дискретных САУ

Рис.6 Структурная схема САУ без регулятора.

Передаточная функция разомкнутой системы:

Разложим дробь с применением метода неопределённых множителей:

Допустим

.

Тогда

Передаточная функция разомкнутой системы:

После сокращения получим:

Для использования аналога критерия устойчивости Гурвица, сделаем подстановку в знаменателе:

:

Найдём коэффициенты числителя:

Т.к. все определители > 0, то делаем вывод, что система устойчива.

Передаточная функция замкнутой системы:

Знаменатель ПФ:

Сделаем подстановку в знаменателе:

.

Найдём коэффициенты числителя:



Т.к. все определители > 0, то делаем вывод, что система устойчива.

5. Анализ переходного процесса в дискретной САУ при подаче ступенчатого воздействия

Подадим в систему ступенчатый сигнал:

Тогда выходной сигнал будет равен:

Сделаем обратное Z-преобразование выходного сигнала:

В результате получим переходной процесс:



Рис.7 Переходной процесс в системе без регулятора при подаче единичного ступенчатого сигнала.

Из графика видно, что перерегулирование в системе достигает 20%, время регулирования превышает 3 с (30 тактов), а установившаяся ошибка по положению равна 14%.

Чтобы получить более качественный переходной процесс, необходимо в систему включить ПИД-регулятор.

Рис.8 Структурная схема САУ с ПИД-регулятором.

Передаточная функция ПИД-регулятора:

Тогда передаточная функция замкнутой системы будет равна:

Z-преобразование выходного сигнала:

Обратное Z-преобразование выходного сигнала:



Получили переходной процесс:



Рис.9 Переходной процесс в системе с ПИД-регулятором при подаче единичного ступенчатого сигнала.

Из рис. 10 видно, что применение ПИД-регулятора положительно повлияло на качество переходного процесса. Перегулирование уменьшилось до 10%, установившаяся статическая ошибка по положению равна 0, а время регулирования значительно уменьшилось: на 15-м такте (1.5 с) ошибка равна 0.2%, а нулевого значения достигает на 40-м.

Для более тонкой настройки системы изменим коэффициенты КП и КD регулятора.

При КП =1.38, КD =0.38 получим следующий переходной процесс:

система автоматический управление устойчивость



Рис.10 Переходной процесс в системе с ПИД-регулятором при подаче единичного ступенчатого сигнала при отладке коэффициентов КП и КD регулятора.

Ошибка на 15-м такте не изменилась, но она уходит в 0 уже на 30-м такте.

Но вместе с тем мы добились более качественного переходного процесса при подаче линейно-нарастающего воздействия (см. пункт 6 с. 14)

Для большей убедительности приведём график переходного процесса с увеличением масштаба по оси Оу:

Рис.11 Переходной процесс в увеличенном масштабе

Проверка:

Проверку осуществляем при помощи операторно-рекуррентого метода.

Уберём из выходного сигнала единичное ступенчатое воздействие:

После преобразования формула для вычисления выходного сигнала принимает вид:

Составим рекуррентное уравнение с учётом начальных условий:

В результате вычисления получим:



Рис.12 Переходной процесс, полученный в результате проверки.

Разница результатов вычисления первым и вторым методами не превышает 0.3%.

Вывод: переходный процесс рассчитан правильно, все требования к быстродействию и качеству системы выполнены.

6. Анализ переходного процесса в дискретной САУ при подаче линейно-возрастающего воздействия

Подадим на систему линейно-возрастающий сигнал rлин(t)=at:

,

где Т=0.1 с - период квантования; а - коэффициент линейного уравнения (примем а=10 для наглядности).

Z-преобразование выходного сигнала:

Уравнение выходного сигнала:

Получили следующий переходной процесс:



Рис.13 Переходной процесс в системе с ПИД-регулятором при подаче линейно-нарастающего сигнала.

Из рис.14 видно. Что установившаяся ошибка по скорости постоянна.

Проверка:

Воспользуемся ОР-методом.

Для этого выделим и уберём из выходного сигнала единичное ступенчатое воздействие:

где

После преобразования формула для вычисления выходного сигнала принимает вид:



Составим рекуррентное уравнение с учётом начальных условий:

В результате вычисления получим:

Рис.14 Переходной процесс, полученный в результате проверки.

Разница результатов вычисления первым и вторым методами не превышает 5%.

Вывод: переходный процесс рассчитан правильно.

7. Выбор технических средств для реализации системы

Примем за основу имеющийся в системе усилитель, двигатель, рабочий механизм с датчиком обратной связи.

Микро-ЭВМ реализуем на основе микропроцессора КР580ИК80. Этот МП имеет относительно недорогую стоимость, очень широко рас...