Особенности анализа систем. Описание системы уравнений с использованием стандартных типов системы "Тополог": функция и вектор. Итерационный метод нахождения собственных значений по методу Якоби. Пример анализа из электротехники (линейная система).
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Постановка задачи

Описание модели

модель описывается системой дифференциальных уравнений 2-ого порядка;

задается область определения значений переменных в виде системы неравенств:

Исследование стационарных точек

в заданной области значений переменных определяются стационарные точки системы путем решения системы алгебраических уравнений:

выполняется линеаризация системы уравнений в стационарных точках.

Точки классифицируются путем нахождения собственных значений матрицы (якобиана) линеаризованной системы. Возможны шесть типов точек.

Обозначения:

- собственные значения якобиана ().

Устойчивый узел:

Собственные значения действительные (мнимая часть равна нулю), меньшие нуля:

Неустойчивый узел:

Собственные значения действительные, большие нуля:

Устойчивый фокус:

Собственные значения комплексно-сопряженные, действительная часть меньше нуля:

Неустойчивый фокус:

Собственные значения комплексно-сопряженные, действительная часть больше нуля:

"Центр”:

Собственные значения комплексно-сопряженные, действительная часть равна нулю:

"Седло”:

Собственные значения действительные, с разными знаками:

Построение фазовых траекторий

Фазовые траектории (портреты) строятся в окрестностях стационарных точек с помощью метода численного интегрирования.

Практическая реализация задачи

Задача реализована в среде системы Тополог.

Описание модели

Описание системы уравнений выполняется с использованием стандартных типов системы Тополог: функция и вектор. В виде функции описывается только правая часть уравнения.

Пример: пусть мы имеем систему из двух нелинейных уравнений вида:

тогда описание данной системы на языке системы Тополог будет выглядеть следующим образом:

данные

x: вещ

y: вещ

F1: функция (x, y) = x^2/100 + y^2/25 - 1

F2: функция (x, y) = y - 10 * Sin (X)

VF: вектор = (F1, F2) |

J: якобиан (VF)

Исследование стационарных точек

Решение системы уравнений в заданной прямоугольной области выполняется стандартным операционным блоком системы Найти_Все_Решения. Он имеет следующий синтаксис:

Найти_Все_Решения (<вектор функций>, <погрешность>,

<граница 1>, <граница 2>,<граница 3>, <граница 4>,

<шаг сетки>, <массив решений>)

Решения ищутся путем запуска метода Ньютона из узлов сетки, наложенной на прямоугольную область поиска, и накопления найденных различных решений. Прямоугольная область поиска задается параметрами: <граница 1>, <граница 2>,<граница 3>, <граница 4>. Шаг сетки равномерный по обеим координатам и задается параметром <шаг сетки>. После завершения работы блока все решения скапливаются в массиве точек, описанным как:

Решения: массив из Точка_вещ

Если при поиске решения из некоторого узла сетки метод выходит за границу прямоугольной области или якобиан системы уравнений на текущей итерации становится неопределенным, то итерации прекращаются и метод запускается из следующего по очереди узла.

Для получения собственных значений якобиана системы в найденных стационарных точках используется стандартный операционный блок системы Тополог Собственные_Значения. Он имеет следующий синтаксис:

Собственные_Значения (<матрица>,

<максимальное число итераций>, <погрешность>) - >

(<массив реальных частей>,

<массив мнимых частей>)

На выходе данный блок формирует два массива, содержащих реальные и мнимые части собственных значений квадратной матрицы (в нашем случае якобиана).

Численные методы нахождения собственных значений матриц делятся на два типа: прямые и итерационные. Прямые методы находят собственные значения путем решения характеристического уравнения матрицы с помощью одного из численных методов (метод Ньютона (касательных), метод секущих, метод хорд и др.). Итерационные методы при помощи преобразований, не меняющих собственных значений матрицы, приводят ее к диагональному (в случае действительных собственных значений) или блочно-диагональному (при наличии комплексно-сопряженных собственных значений) виду. Значения из диагонали полученной матрицы и являются собственными значениями исходной матрицы.

В основу блока Собственные_Значения заложен итерационный метод нахождения собственных значений по методу Якоби с понижением нормы для действительных матриц.

Основная суть метода Якоби:

Пусть задана действительная матрица размера и матрица (или ) формируется как последовательность преобразований . При определенном выборе матрица будет диагональной с элементами, равными собственным значениям исходной матрицы ( и представляют соответственно правую и левую систему собственных векторов ).

Для реализации такого преобразования матрицы можно выбирать в виде произведения двух матриц , где матрица определяет так называемое вращение, а - сдвиг или комплексное вращение. Элементы этих двух матриц удовлетворяют соотношениям:

Пары индексов (,) выбираем на каждом шаге итерации путем циклического перебора. Параметр вращения можно определить из соотношения , причем нужно выбрать такое значение , чтобы после очередного преобразования вращения евклидова норма -ого столбца преобразованной матрицы была не меньше нормы -ого столбца. Параметр сдвига выбирается так, чтобы на каждом шаге преобразований уменьшалась евклидова норма матрицы , равной

.

Параметр сдвига удовлетворяет соотношению

, где

; ;

;

.

По окончанию итерационного процесса матрица будет нормальной, причем , и либо , либо для всех значений (, ), а матрица будет блочно-диагональной: блоки размера () будут содержать действительные собственные значения, а () - комплексно-сопряженные.

Построение фазовых траекторий

Фазовые траектории образуются в процессе решения задачи интегрирования системы дифференциальных уравнений, описывающих исследуемую модель. Для этого использован метод численного интегрирования Рунге-Кутта четвертого порядка.

Алгоритм метода может быть представлен в следующем виде:

,,

,,

;

где -число уравнений, -номер шага,

,

,

,

.

При незначительном, по сравнению с методом Эйлера, усложнении расчетных формул метод Рунге-Кутта обеспечивает значительно более высокую точность, имеющую порядок .

Примеры.

Пример задачи из электротехники (линейная система)

Пусть необходимо исследовать переходные процессы и выявить стационарные состояния электротехнической цепи:

Якобиан имеет вид:

Варианты возможных переходных процессов представлены ниже.

Устойчивый узел

Начальные условия:

Собственные значения:

Параметры интегрирования:

нелинейная система анализ уравнение

Неустойчивый узел

Начальные условия:

Собственные значения:

Параметры интегрирования:

Устойчивый фокус

Начальные условия:

Собственные значения:

Параметры интегрирования:

Неустойчивый фокус

Начальные условия:

Собственные значения:

Параметры интегрирования:

"Центр”

Начальные условия:

Собственные значения:

Параметры интегрирования:

"Седло”

Реальной схема, описываемая исследуемой системой уравнений, не может иметь стационарную точку типа "седло”.

Приведенный пример был реализован в системе Тополог с помощью следующего описания модели:

ИМЯ "Решение системы дифференциальных уравнений"

ДАННЫЕ

{параметры модели}

E0: вещ R1: вещ R2: вещ L: вещ C: в...