Анализ систем автоматизированного управления численными методами

Расчёт критического коэффициента передачи замкнутой следящей системы. Метод Гаусса с выбором главного элемента. Определение переходной функции следящей системы и показателей качества. Вычисление интегральной квадратичной оценки по импульсной переходной.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Тема: Аналіз САУ чисельними методами

Введение

Бурное развитие новейшей техники и всё большее внедрение современных разделов математики в инженерные исследования неизмеримо повысили требования к математической подготовке инженеров и научных работников, занимающихся прикладными вопросами. В настоящее время, требуется знание многих разделов современной математики и в первую очередь основательное владение методами и приемами вычислительной математики, так как решение почти каждой инженерной задачи должно быть доведено до численного результата. Вычислительная техника наших дней представляет новые мощные средства для фактического выполнения счетной работы. Благодаря этому во многих случаях стало возможным отказаться от приближенной трактовки прикладных вопросов и перейти к решению задач в точной постановке. Разумное использование современной вычислительной техники не мыслимо без применения методов приближенного и численного анализа. Этим и объясняется чрезвычайно возросший интерес к методам вычислительной математики. А именно, ценным является тот метод, который допускает простую реализацию на машинах, а также не вносит в вычислительный процесс значительных погрешностей. Ведь может произойти накопление погрешностей округления, что приводит к неустойчивому состоянию схемы, которая в дальнейшем не пригодна для использования.

1. Техническое задание на проектирование Задана структурная схема следящей системы постоянного тока

Общий коэффициент передачи разомкнутой следящей системы определяется как:

kv=kиу*kфd*kун*kэму*kдв*kред

Таблица 1.1 Исходные данные для проектирования:

Ткз[с]	Тупр[с]	Тэм[c]	Тя[с]	Дискретность Kv	Метод решения
0.208	0.046	0.105	0.021	0.05	Рунге-Кутта

Необходимо: 1.Найти критический коэффициент (kvкрит) передачи следящей системы используя критерий устойчивости Гурвица и метод исключения Гаусса 2.Найти и графически построить переходные функции замкнутой системы для 2х вариантов: а). kv=1/2kvкрит б). kv=1/4kvкрит

используя метод Рунге-Кутта. 3.Вычислить квадратичную интегральную оценку для 2х вариантов по импульсной переходной функции используя метод Симпсона

2. Расчёт критического коэффициента передачи замкнутой следящей системы

По заданной структурной схеме записываем передаточную функцию разомкнутой следящей системы:

p(Tкзp+1)(Тупрp+1)[(Tэмp+1)Tяp+1]

тогда характеристический многочлен замкнутой системы равен:

A(p)=p(Ткзp+1)(Tупрp+1)[(Tэмp+1)Tяp+1]+kv=a5p+a4p+a3p+a2p+a1p+a0

a5=Tкз*Тупр*Тэм*Тя;

a4=Тупр*Tэм*Tя+Tкз*Tэм*Tя+Tкз*Тупр*Tя;

a3=Tэм*Tя+Тупр*Tя+Tкз*Tя+Tкз*Тупр;

a2= Tя+Тупр+Tкз; a1=1; a0= kv;

2.1 Методика расчёта критического коэффициента

Критическим коэффициентом kvкрит называется коэффициент передачи разомкнутой системы находящейся на границе устойчивости В соответствии с критерием устойчивости Гурвица составляем определитель Гурвица. Для заданной системы 5-го порядка этот определитель имеет следующий вид:

Система будет находиться на границе устойчивости, если один из диагональных миноров равен 0, а все остальные - положительны. Процедура поиска критического коэффициента передачи состоит в следующем: задавая, последовательно увеличивая значение kv, начиная от kvнач=0.05 с дискретностью kv=0.05 определяем такое его значение при котором хотя бы один из миноров становится равным 0. Следовательно для каждого значения kv нужно вычислить все пять определителей. Вычисление определителей будем проводить методом исключения Гаусса с выбором главного элемента.

2.2 Метод Гаусса с выбором главного элемента

Метод исключения Гаусса состоит из двух основных этапов:

1) прямой ход - основан на приведении матрицы системы к треугольному

виду. Это осуществляется последовательным исключением неизвестных из уравнений системы. 2) обратный ход - с помощью найденной треугольной матрицы последователь но вычисляем искомые неизвестные. Рассмотрим применение метода Гаусса для системы 3-го порядка (прямой ход):

а11х1+а12х2+а13х3=b1, (1)

а21х1+а22х2+а23х3=b2, (2)

а31х1+а32х2+а33х3=b3. (3)

Домножим уравнение (1) на ( - а21/а11 ) и прибавим его к уравнению (2). Затем, умножив уравнение (1) на ( - а31/а11 ) и прибавив результат к уравнению (3), получим равносильную систему уравнений вида

а11х1+а12х2+а13х3=b1, (4) а22х2+а23х3=b2, (5)

а32х2+а33х3=b3, (6)

где

а22 = а22 - (а21/а11)* а12;

b2 = b2 - (а21/а11)* b1;

а23 = а23 - (а21/а11)* а13;

b3 = b3 - (а31/а11)* b1;

а32 = а32 - (а31/а11)* а12;

а33 = а33 - (а31/а11)* а13;

Домножим уравнение (5) на ( - а32/а22 ) и складываем его с уравнением (6)

а11х1+а12х2+а13х3=b1, (7) а22х2+а23х3=b2, (8) а33х3=b3, (9)

где а33 = а33 - (а32/а22)* а23;

b3 = b3 - (а32/а22)* b2;

Мы привели матрицу системы к треугольному виду. На этом заканчивается прямой ход метода Гаусса. Обратный ход начинается с решения (9) уравнения системы:

х3 = b3/a33;

Используя это значение, можно найти х2 из (8) уравнения, а затем х1 из (7):

х2 = 1/a22*(b2 - a23x3), х1 = 1/a11*(b1 - a12x2 - a13x3);

Метод Гаусса с выбором главного элемента заключается в том, что перед началом исключения переменных необходимо привести матрицу к такому виду, чтобы максимальный элемент столбца попадал на главную диагональ. Эту процедуру необходимо выполнять на каждом шаге.



3. Текст программы

program Krit;

uses crt;

const n=5; Tem=0.131; Tya=0.05; Typr=0.076; Tkz=0.148;

type massiv= array [1..n,1..n] of real;

var a,b:massiv; Kv,diag:real; i,j: integer;

procedure Vivod;

begin textcolor(9); writeln(' Коэффициенты определителя Гурвица :'); textcolor(7); writeln(' a1=',1); writeln(' a2=',Tya+Typr+Tkz:9:8); writeln(' a3=',Tem*Tya+Typr*Tya+Tkz*Tya+Tkz*Typr:9:8); writeln(' a4=',Typr*Tem*Tya+Tkz*Tem*Tya+Tkz*Typr*Tya:9:8); writeln(' a5=',Tkz*Typr*Tem*Tya:9:8);

end;

Обнуление элементов стоящих под главной диагональю

procedure Obnylenie(m:integer; a:massiv; var b:massiv);

var i,j:integer;

begin

clrscr; for i:=m+1 to n do for j:=m+1 to n do b[i,j]:=a[i,j]-a[i,m]/a[m,m]*a[m,j];

end;

Вычисление определителей

procedure Diag_opred(b:massiv; var sum: real);

var i,j: integer;

begin clrscr; Vivod; writeln; textcolor(9); writeln(' Вычисленные определители:'); sum:=1; for i:=1 to n do for j:=1 to n do if i=j then begin sum:=sum*b[i,i]; textcolor(7); writeln(' ',sum:7:9); end;

end;

Формирование определителя Гурвица

procedure Matrix(Kv:real;var a:massiv);

begin clrscr; for i:=1 to n-3 do begin a[2*i,i+2]:=1; a[2*i,i+1]:=Tem*Tya+Typr*Tya+Tkz*Tya+Tkz*Typr; a[2*i,i]:=Tkz*Typr*Tem*Tya; end; for i:=1 to n-2 do begin a[2*i-1,i+2]:=Kv; a[2*i-1,i+1]:=Tya+Typr+Tkz; a[2*i-1,i]:=Typr*Tem*Tya+Tkz*Tem*Tya+Tkz*Typr*Tya; end;

end;

Основное тело программы

begin Kv:=0; repeat begin Kv:=Kv+0.05; Matrix(Kv,a); end; b:=a; for i:=1 to n-1 do Obnylenie(i,b,b); begin Diag_opred(b,diag); end; until diag<=0; begin writeln; textcolor(9); writeln(' Критический коэффициент равен:'); textcolor(7); writeln(' Kv =',Kv:5:2); readkey; end;

end.

3.1 Описание переменных

В программе использованы такие переменные: a-массив чисел, из элементов которого формируем определитель Гурвица; n-размерность массива; i-номер строки; j-номер столбца; b-массив чисел. При помощи его, изменяя номера строк и столбцов приводим матрицу к треугольному виду; Tem-электро-механическая постоянная времени двигателя; Tya- постоянная якорной цепи двигателя; Typr-постоянная времени обмотки управления ЭМУ; Tkz-постоянная времени короткозамкнутой обмотки ЭМУ; m-некоторая переменная принимающая значение от 1 до 5; sum-счетчик, используемый для вычисления диагональных определителей; Kv-дискретность или шаг; diag-один из вычисленных...