Системи масового обслуговування з очікуванням без обмеження на довжину черги
Системи масового обслуговування з очікуванням без обмеження на довжину черги1. Системи масового обслуговування з очікуваннямБагатоканальні СМО з обмеженою чергою. Нехай є система СМО, що має каналів. Кожна заявка надходить до СМО, починає обслуговуватись, коли хоча б один із каналів вільний. Якщо усі канали зайняті, тоді заявка потрапляє у накопичувач, де чекає звільнення хоча б одного із каналів. Нехай черга у накопичувачі обмежена числом . Якщо, один із каналів звільняється, заявка надходить на обслуговування до звільненого каналу по черзі, з якою заявка надійшла у СМО. Якщо заявка застане усі канали і усі місця у накопичувачі зайнятими, то вона втрачається. Потім припускатимемо, що вхідний потік заявок також пуассонівського з параметром , а потік обслугованих заявок також пуассонівський с параметром . Тоді система може знаходитись у станах Причому – це стани, коли немає черги, тобто відповідно – всі канали вільні, – один зайнятий, … , – усі каналів зайняті, - усі канали зайняті і одна заявка в черзі, … , – стан, коли всі каналів і всі місць у накопичувачі зайняті, тобто заявка, що надходить в такий момент втрачається. Можна графічно на рис. (1) стрілками вказати усі переходи від стану до стану, а над стрілками ймовірності переходів за час , якщо малий.Рисунок 1Якщо порівняти СМО з відмовами і СМО з обмеженою чергою, то зрозуміло, що для ймовірностей переходу , коли , ми одержуємо такі ж диференціальні рівняння як і рівняння системи без черги.Отже потрібно скласти рівняння для перехідних ймовірностей, коли .Нехай . Враховуючи властивості простіших потоків і формулу Смолуховського-Чепмена,(1)де – функція що задовольняє умові ., (2), (3)де як і раніше число заявок, що надходять до СМО за час , а – число заявок, що обслуговані за час . (4)Тепер врахуємо (2), (3 і (4) до (1)Віднімемо від обох частин останньої рівності та розділимо на Перейдемо до границі в обох частинах, коли (5)Тепер, продовжуючи аналогічні міркування, можна одержати рівняння для обчислення перехідних ймовірностей із стану до стану, коли , де Враховуючи формулу Смолуховського-Чепмена, а також властивості простішого (пуассонівського) потоку можна записати: (6)Далі за властивістю стаціонарності і ординарності, маємо:, (7), (8). (9)Врахуємо (7), (8) і (9) до (6).В останній рівності віднімемо від обох частин і розділимо на .А тепер перейдемо до границі в обох частинах, коли , тоді
