Приближенное решение трехмерного уравнения теплопроводности

Область непрерывного изменения аргументов заменяется расчетной сеткой – дискретным множеством точек (узлов). Вместо функции непрерывных аргументов вводятся функции дискретных аргументов – сеточные функции, определяемые в узлах сетки. Частные производные, входящие в дифференциальное уравнение и граничные условия, заменяются (аппроксимируются) разностными соотношениями.

Если решение системы разностных уравнений существует и при измельчении сетки стремится к решению поставленной задачи (т.е. сходится), то это решение и является искомым приближённым решением краевой задачи. Несмотря на то что число неизвестных в этой системе алгебраических уравнений весьма значительно, решение её с точки зрения математических трудностей более просто, чем исходной задачи.

Итак, заменим область непрерывного изменения аргументов искомой функции некоторым конечным множеством точек, лежащих в этой области. Это множество назовём разностной сеткой, сами точки – узлами сетки, а функции, определённые тем или иным способом на этой сетке, - сеточными функциями.

В простейшем случае одномерной задачи можно ввести равномерную сетку. Для этого отрезок разобьём на равных частей точками , (рис. 1.1). Расстояние между узлами называется шагом сетки. Так как в рассматриваемом случае , то множество узлов представляет собой равномерную сетку на отрезке и обозначается Если отрезок разбит на частей произвольно взятыми точками, то получим неравномерную сетку с шагом , зависящим от номера и .