Процес навчання математики з впровадженням елементів історизму

Визначення психолого-педагогічних умов використання історичного матеріалу, що сприяє підвищенню ефективності навчання математики в школі. Психолого-педагогічні особливості реалізації принципу історизму. Внесок українських вчених в розвиток математики.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

1. Науково-теоретичні основи дослідження

1.1 Періодизація історії математики

Слово «математика» грецького походження, означає наука, знання. Математика - одна з найдревніших наук. Вона виникла на світанку розвитку людського суспільства з практичних потреб людини і завжди була її постійним супутником, порадником, помічником в осмисленні навколишнього світу, вдосконаленні знарядь праці, у наукових відкриттях, у пізнанні самої себе. Математика історично склалася як своєрідна мова узагальнення людського досвіду, досягнень розуму, як фрагмент людської мови, що дає змогу чітко і лаконічно висловлювати думки, доводити істини.

Історичне минуле математики цікаве і повчальне для нас, оскільки дає змогу повніше оцінити досягнення, збагнути силу математичних знань, їх красу і велич, можливості сьогодення і перспективи майбутнього.

В історії розвитку математики виділяють чотири періоди:

1. період зародження математики, що охоплює час до VII ст. до н. е. Розвиток її в цей час пов'язаний з практичними задачами на лічбу і вимірювання. В процесі безпосередньої практики відбувається формування первісних понять арифметики і геометрії, поняття числа і фігури, виробляються правила лічби, прийоми виконання 4-х арифметичних дій. Створюється система числення. Підготовляється (але ще не здійснюється) перехід до арифметики, як математичної теорії (перехід від конкретних задач до абстрактних міркувань).

В геометрії - визначення найпростіших площ і об'ємів, але не є ше геометрія теоретичною наукою (з теоріями і логічними доведеннями).

З чого ж власне починається розвиток математики як науки? З того часу, коли людина навчилася абстрагувати від конкретної природи об'єктів, які лічать або вимірюють - вивчення реального матеріалу, абстрагуючись від його конкретного змісту і якісних особливостей (в цьому різниця математики від природничих наук).

Засновником математики була та людина, яка почала керувати поняттями. Вона зрозуміла, що існує не тільки дві руки, два ока, а поняття «два» взагалі.

2. Другий період: період математики сталих величин (VI ст. до н е. - XVI ст. н.е.); період становлення математики як науки.

За математичним змістом цей період можна поділити на два періоди:

- Період переважного розвитку геометрії (VI ст. до н.е. - II ст. н.е).

- Період переважного розвитку алгебри і тригонометрії (ІІ - XVI ст. н.е.).

У Стародавній Греції математика змінилася якісно; необхідною її складовою частиною стало логічне доведення, обгрунтування. Розвиток математики здійснювали вчені та їх школи. Це Мілетська школа на чолі з Фалесом (640-546 до н.е.), який дав доведення декількох тверджень геометрії, а саме: діаметр поділяє круг на дві рівні частини; кути при основі рівнобедреного трикутника рівні між собою; вертикальні кути рівні; два трикутники рівні за рівними у них стороні і прилеглими до неї кутами.

Школа Піфагора Самоського (580-560 до н.е.) була філософською, але в ній приділяли увагу розвитку математики. Вчення Піфагора та його учнів стосувалися гармонії, геометрії, теорії чисел, астрономії. Головна філософська теза піфагорійців - «все є число», тобто кожна річ має числову характеристику і числове відношення. Теорема про співвідношення між сторонами прямокутного трикутника була відома раніше вавілонянам, китайцям, єгиптянам, але вважається, що доведення її дав Піфагор. Йому приписують ряд інших відкриттів: теорему про суму внутрішніх кутів трикутника, задачу про ділення площини на правильні многокутники. Піфагорійці ввели поняття простого і складеного числа, вивчали властивості подільності та інше.

Найбільшою заслугою школи Піфагора було відкриття несумірних величин на прикладі несумірності діагоналі квадрата з його стороною. Але це відкриття порушувало головну тезу піфагорійців «все є число» (а знали вони лише натуральні та раціональні додатні числа).

Це була перша криза в історії математики на ґрунті поняття про число.

Грецькі математики вийшли з цього положення тим, що раціональні числа стали розглядати як відношення всіх величин - як сумірних, так і несумірних, хоч раніше вони розглядали відношення тільки сумірних величин. На цій основі грецький математик Евдокс Кнідський (480-355 до н.е.) побудував строгу загальну теорію відношення величин, яка є геометричною теорією дійсних чисел. Евдоксу належить також відкриття методу вичерпування для обчислення площ криволінійних фігур. У цей період з'явились три знамениті задачі на побудову, які не розв'язуються циркулем та лінійкою: трисекція кута, подвоєння куба, квадратура круга.

В Афінах велике значення мала філософська школа Платона (427-347 до н.е.) «Академія». Платон вважав, що філософи повинні вивчати математику, на дверях його Академії був напис: «Нехай той, хто не знає геометрії, не входить сюди». Він запровадив традицію давати бездоганні означення і визначати, які твердження у математичних міркуваннях можна приймати без доведення. Платон велику увагу приділяв геометричним побудовам циркулем і лінійкою, ввів терміни «аналіз», «синтез», розробив схему розв'язування задачі на побудову, яка збереглася до наших днів. Платону приписують також класифікацію правильних многогранників, встановлення п'яти їх типів: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр; їх ще називають «платоновими тілами».

Засновником Олександрійської математичної школи (300 до н е. - 640 не.) був Евклід (325-300 до н.е.) - учень Платона. На цей час був накопичений значний теоретичний матеріал з математики, зокрема з геометрії, виникла потреба систематизувати наявний матеріал, привести його в систему. Завдання логічного обґрунтування геометрії ставили уже Платон і Аристотель, який у своєму творі «Логіка» сформулював основні положення логічної побудови науки.

Аристотель (384-322 до н.е.) фактично заклав основи дедуктивного викладу матеріалу певної науки, за яким спочатку треба дати означення об'єктів науки, сформулювати вихідні положення (аксіоми і постулати), а потім усі твердження доводити за законами логіки.

Завдання систематизації геометричних фактів, створення геометрії як науки розв'язав Евклід у своїх «Початках», написаних біля 300 р. до н.е. У «Початках» Евклід виклав матеріал тільки елементарної геометрії, хоч на той час уже було багато відомостей про конічні перерізи, про деякі криві третього і четвертого порядку.

Проблема повної аксіоматизації елементарної геометрії - одна з проблем геометрії, що виникла в Стародавній Греції у зв'язку з критикою цієї першої спроби побудувати повну систему аксіом так, щоб всі твердження евклідової геометрії слідували з цих аксіом чисто логічним висновком без наочності креслень.

В «Засадах» Евкліда була дана наступна аксіоматика:

1. Від будь-якої точки до будь-якої точки можна провести пряму.

2. Обмежену пряму можна безперервно продовжувати по прямій.

3. З будь-якого центру всяким розчином може бути описаний коло.

4. Усі прямі кути рівні між собою.

5. Якщо пряма, що перетинає дві прямі, утворює внутрішні односторонні кути, менші двох прямих, то, продовжені необмежено, ці дві прямі зустрінуться з тієї сторони, де кути менше двох прямих.

Дослідження системи аксіом Евкліда в другій половині XIX століття показало її неповноту.

Після Евкліда грецькі вчені продовжили розвиток геометрії і арифметики. Так, Архімед (287-212 до н.е.) вдосконалив методи знаходження площ і об'ємів, поєднав математичні досягнення з технічними методами (важелі, водяні насоси, блоки, військові машини та ін.), Аполлоній (262-190 до н.е.) дослідив конічні перерізи, Гіппарх (180-125 до н.е.) виклав основи тригонометрії, Менелай (І ст. н.е.) - основи сферичної геометрії, Діофант (ПІ ст. н.е.) запровадив літерну символіку у своєму творі «Арифметика», дав способи розв'язування неозначених рівнянь.

Арабська математика (У-ХІ ст.). Після занепаду Римської імперії (V ст. н.е.) розвитку набули Візантія, Арабський халіфат, країни Західної Європи. На початку VII ст. на світову арену виходить енергійний кочовий народ Аравії - араби, які вели загарбницькі війни, підкорили Сірію, Іран, Єгипет, Північну Африку, Піренейський півострів, Закавказзя, Індію, Середню Азію - утворився Арабський халіфат.

Потреби виробничої діяльності, сухопутної і морської торгівлі зумовили розвиток науки, зокрема математики. Спочатку араби засвоїли надбання математиків Сходу і Греції, потім включились у самостійну дослідницьку роботу. Арабська математика, як і грецька, мала переважно обчислювальний характер: практична арифметика, вимірювальна геометрія, тригонометрія, числова алгебра, але був високий рівень і теоретичних досліджень. Вони повністю володіли десятковою позиційною нумерацією. Арабська математика - це обсяг математичних знань, написаних арабською мовою представниками різних народів в період панування Арабського халіфату.

Науковий центр був у місті Багдаді. Першим знаменитим ученим був Мухаммед бен-Муса ал-Хорезмі (ЕХ ст.). У його творі «Хісаб ал-Хінд» («Про індійські числа») вперше сформульовані правила порозрядного виконання дій над багато цифровим и числами, які пізніше в Європі назвали на честь ал - Хорезмі алхоризмами (звідси нині широко вживаний термін «алгоритм»), а в книзі «Китаб аль-джебр аль-Мукабала» («Книга про відновлення і протиставлення») він використовує від'ємні числа, формулює правила розв'язування рівнянь першого...