Основні методи геометричних перетворень

Ознайомлення з основними поняттями планіметрії та властивостями геометричних перетворень. Методика вивчення подібності довільних фігур. Конспект уроків геометрії на теми "Дослідження планети Земля" та "Симетрія навколо нас. Таємниця дзеркального світу".
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Зміст

Вступ

Розділ 1. Геометричні перетворення в шкільному курсі планіметрії

1.1 Загальна характеристика матеріалу

1.2 Методика ознайомлення учнів з основними поняттями теми та властивостями геометричних перетворень

1.3 Методика вивчення подібності довільних фігур

Розділ 2. Методичні розробки з теми дослідження

2.1 Конспект уроку геометрії у 9 класі на тему "Дослідження планети Земля"

2.2 Конспект відкритого уроку - лекції "Симетрія навколо нас. Таємниця дзеркального світу"

2.3 Метод геометричних перетворень і можливості його застосування при розв'язуванні задач

Висновки

Література



Вступ

Геометричні перетворення - дуже важливий розділ курсу геометрії. У геометрії Евкліда, яку ми вивчаємо в шкільному курсі математики, переважно досліджуються ті властивості геометричних фігур, що не змінюються при їх русі (образно кажучи, кожну геометричну фігуру можна розглядати як "тверду", наприклад, вирізану з картону), - симетрія та поворот, а також ті, де відбувається перетворення подібності - гомотетія.

Метод геометричних перетворень є досить продуктивним методом розв'язування геометричних задач. Математична теорія симетрії, симетрія у живій та неживій природі, мистецтві, архітектурі, інженерії отримали спільне підґрунтя у геометричних перетвореннях.

В геометрії розглядають деякі функції, які мають різні значення, вони кожній точці ставлять у відповідність точку. Ці функції називаються геометричними перетвореннями.

Геометричні перетворення мають велике значення в геометрії. За їх допомогою визначають такі важливі геометричні поняття, як рівність та подібність фігур. В дипломній роботі річ піде о таких перетвореннях, як рух та подібність, будуть розглянуті їх властивості та вирішені деякі задачі.

Мета: розглянути основні геометричні перетворення, вивчити їх сутність і властивості. Розібрати методи геометричних перетворень та за допомогою їх навчитись вирішувати задачі методами геометричних перетворень.

Актуальність цієї теми полягає у вирішенні задач на побудову, для цього потрібно знати основні методи геометричних перетворень. Це дуже важливо для учнів середньої школи, вирішення задач на побудову сприяє розвитку математичного та логічного мислення учнів, присвоєнню вмінь та навичок аналізувати та застосовувати знання в інших математичних прикладах та задачах.

Завдання:

· Розглянути деякі геометричні перетворення

· Їх властивості

· Дослідити методи геометричних перетворень

· Вирішити декілька задач на побудову.

Уявіть собі, що ви жбурляєте камінець у гладінь тихого ставка і по воді колами розбігаються брижі, причому центр кожного кола розміщений саме там, де камінець торкнувся води. А тепер підніміть переднє колесо велосипеда і покрутіть його - колесо не зрушить із місця, але його спиці закружляють у шаленому танці.

Станьте перед дзеркалом, тримаючи в правій руці олівець - і дзеркало "перетворить" вас на лівшу, адже ваш двійник триматиме олівець у лівій руці. У шухляді вашого столу лежить косинець: ви трохи висунули шухляду - і косинець перемістився разом із нею. Так чи інакше, в кожному з цих випадків фігури, про які йдеться, зазнають певних змін, перетворень.

Ідея перетворень є однією з провідних ідей сучасної математики. За її допомогою з успіхом доводять скаладні твердження з різних розділів геометрії, які виходять далеко за межі шкільного курсу. За допомогою геометричних перетворень і комп'ютерної графіки кінематографісти бентежать уяву глядача дивовижними образами і незвичайними перевтіленнями на екрані.

Перетворення допомагають художникам правильно будувати композиції картин, а хімікам - досліджувати структуру кристалів.

Теорія геометричних перетворень виникла у зв'язку з пізнанням законів зображення предметів на площині. Спроби правильно відобразити на плоскому рисунку природні форми предметів здійснювалися задовго до виникнення писемності - люди малювали на стінах печер, скелях, посуді різноманітні рослини, тварин тощо.

Тривала практика підказувала митцям, як передати на рисунку зображуваний предмет - так зароджувалося вчення про відповідності й перетворення. Раніше за інші були встановлені й вивчені закони перспективи. Стародавні греки дотримувалися їх уже в V - IV ст. до н.е.

В епоху Відродження з'явилися перші фундаментальні дослідження з теорії перспективи, зокрема роботи видатних художників Леонардо да Вінчі і Альбрехта Дюрера. Розробником математичних основ теорії проективних перетворень(теорії перспективи)став французький інженер і архітектор Жерар Дезарг.

Завдяки теорії перспективи вдалося досягнути достатньої наочності зображень, однак технічний прогрес вимагав точного відтворення об'єктів із дотриманням розмірів. Багато талановитих учених доклали зусиль до створення теорії взаємно однозначних відповідностей на площинні й у просторі. Серед них був, зокрема, французький математик Мішель Шаль, який довів фундаментальну теорему про геометричні перетворення (нині відому як теорема Шаля).

Підсумував наукові пошуки в галузі геометричних перетворень французький геометр Гаспар Монж, створивши новий розділ геометрії - нарисну геометрію.

Пізніше на основі розподілу геометричних перетворень на групи було виділено ще декілька розділів геометрії - афінна, проективна та інші. Здобутки вчених у вивченні перетворень склали математичну основу для розвитку багатьох галузей сучасної техніки.

Ідея перетворень є однією з провідних у сучасній математичній науці і в різних галузях її застосувань. Вона тісно пов'язана з ідеями функції, відображень, які широко використовуються в практиці.

У прийнятій 1968р. програмі шкільного курсу геометричні перетворення вважалися однією з провідних змістових ліній геометрії і апаратів для доведення теорем та розв'язування задач.

Цей погляд на геометричні перетворення було реалізовано у навчальних посібниках за редакцією А. М. Колмогорова (планіметрія) та З. О. Скопця (стереометрія). Слід зазначити, що спроба в цих посібниках трактувати геометричні перетворення як відображення площини(простору) на себе з широким використанням термінології і символіки множин призвела до надмірної заформалізованості навчального матеріалу і як результат - до труднощів у його сприйманні.



Розділ 1. Геометричні перетворення в шкільному курсі планіметрії

1.1 Загальна характеристика матеріалу

планіметрія геометричний перетворення фігура

Під час вивчення геометрії учні впевнюються, що не завжди можна дістати відповідь на поставлене запитання внаслідок безпосереднього аналізу заданої фігури або конфігурації. Часто доводиться виконувати деякі перетворення фігури. Це дає змогу зблизити окремі елементи, дістати відрізки або кути, які відповідають даним умови. Такі перетворення фігур невипадкові. Це окремі випадки застосування так званих геометричних перетворень. Програма передбачає ознайомлення учнів як з поняттям про геометричні перетворення взагалі, так і з властивостями та застосуванням окремих видів цих перетворень. Зокрема, вивчаються властивості паралельного перенесення, центральної та осьової симетрії, обертання навколо точки, гомотетії, подібність фігур

Застосування перетворень (зокрема, рухів) до установлених геометричних фактів зв'язують з іменем Фалеса Мілетського. Фалес за допомогою перегинів і поворотів рисунка показав справедливість таких фактів, як рівність вертикальних кутів, рівність вписаного кута, що спирається на діаметр кола, прямому куту тощо.

Потужний поштовх розвитку ідеї геометричних перетворень, дав німецький математик Фелікс Клейн в своїй Єрлангенской програмі. За Клейном предмет геометрія складається з теорії інваріантів деякої групи геометричних перетворень, кожної з яких відповідає своя гілка геометрії. З цих позицій геометрія, визначена групою перетворень подібності, і являється предметом вивчення в середній школі.

Вперше значну увагу цьому матеріалу було приділено відомим вітчизняним математиком і методистом А.Н.Колмогоровим. В його курсі геометрії (1968 - 1980) перетворення займали центральне місце та слугували основою доведення багатьох теорем. В підручниках Погорєлова А. В. й Атанасяна Л. С. рух та перетворення подібності стали розглядатися скоріш як об'єкт вивчення, ніж універсальний апарат для розв'язування задач.

Основна мета вивчення геометричних перетворень - ознайомити учнів з різними видами рухів (симетрія відносно точки і прямої, поворот, паралельне перенесення) та подібністю і гомотетією, їх властивостями, ввести загальне поняття про рівність і подібність фігур, показати застосування окремих видів перетворень та властивостей площ подібних фігур до розв'язування задач.

Роль матеріалу:

1) Введення в шкільний курс лінії геометричних перетворень дозволило дати "апаратне", "робоче" тлумачення рівності та подібності фігур. Якщо в діючих підручниках спочатку вводяться рівні трикутники через рівні елементи або суміщення (накладання), то аналогічне означення рівності (подібності) для довільних фігур ввести важко - потрібні геометричні перетвор...