Образовательные цели изучения геометрических величин в школьном курсе математики, понятие величины, пример построения теории величин. Методика изучения геометрических величин, теория измерения длин отрезков, площадей фигур и объемов геометрических тел.
Краткое сожержание материала:

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

Математический факультет

Кафедра МПМ

Реферат

Измерение геометрических величин в курсе средней школы

Исполнитель: студентка

группы Горошко А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук,

доцент Лебедева М.Т.

Гомель 2007

Содержание

Введение

1. Образовательные цели изучения темы в школьном курсе математики. Общее понятие величины. Пример построения теории величин

2. Методика изучения геометрических величин. Теория измерения длин отрезков

Заключение

Литература

Введение

Измерение геометрических величин - одна из основных линий школьного курса геометрии, которая знакомит учащихся с важными идеями, понятиями и методами метрической геометрии. Измерение геометрических величин связано с идеей аксиоматического метода, теорией действительного числа, методами математического анализа. Знакомство учащихся с различными формулами расширяет возможности применения в школьном курсе геометрии аналитического метода. Главная особенность изложения материала - сочетание различных математических идей и методов, например, в теме «Площади фигур» используется традиционно-синтетический и аналитический методы.

1. Образовательные цели изучения темы в школьном курсе математики. Общее понятие величины. Пример построения теории величин

Программа 1981г. (базисная) следующим образом определяет содержание темы по классам:

· -начальная школа: примеры величин (длина, площадь, масса, стоимость); единицы их измерения; примеры зависимостей между величинами(путем, скоростью и временем; площадью и длинами сторон прямоугольника и т. д.);

· -в 5-6 классах: примеры величин(длина, площадь, объем, градусная мера угла); единицы измерения длин, площадей, объемов и углов; массу тел; площадь прямоугольника, прямоугольного треугольника, объем прямоугольного параллелепипеда, формулы длины окружности и площади круга.

· -в 7-9 классах: понятие о площади, основные свойства площади, площадь прямоугольника, треугольника, параллелограмма, трапеции, отношение площадей подобных фигур, площадь круга и его частей, решение задач на вычисление неизвестных длин, углов и площадей;

· -в 10-11 классах: понятие об объеме, основные свойства объема, объемы многоугольников: прямоугольного параллелепипеда, призмы, пирамиды; объемы тел вращения: цилиндра, конуса, шара; площади сферы.

В этой же программе предъявляются следующие требования к подготовке учащихся в области геометрических величин:

-учащиеся начальной школы должны научится измерять простейшие величины и выполнять над ними соответствующие действия. Программа рекомендует основное внимание сосредоточить на выработке прочных навыков измерения величин, на овладение наиболее распространенными на практике единицами измерения величин;

-учащимся 5-6 классов необходимо приобрести навыки измерения геометрических величин, научиться решать простейшие задачи на нахождение длин, площадей и объемов;

-учащиеся 7-9 классов должны приобрести навыки измерения и вычисления длин, углов и площадей, применяемые для решения разнообразных геометрических и практических задач. Учащиеся должны также решать несложные задачи на нахождение величин, не сводящиеся к непосредственному применению одной формулы или теоремы.

-учащиеся 10-11 классов должны уметь решать несложные задачи на нахождение длин, углов, площадей и объемов(в том числе задачи с практическим содержанием). При этом требуется не только умение довести решение до желаемого результата, но и умен7ие перевести практическую задачу на язык геометрии и решить ее, приводя достаточно полное обоснование.

Величина - одно из основных понятий математики, возникшее в древности и подвергшееся в процессе развития математики ряду обобщений.

Общее понятие величины - непосредственное обобщение конкретных величин (длинны, площади, объема, массы и т.д.),свойства которых сформулированы еще в «началах» Евклида. Впоследствии эта величина получила название «положительной скалярной величины», чтобы отличить ее от более общих понятий величины (векторной и др.).

Интуитивно мы представляем себе, что величина может быть больше или меньше, две однородные величины могут складываться, ее можно измерить, понимая под этим сравнение данной величины с однородной, принятой за единицу измерения. Однако сформулировать это понятие в математических терминах не так то просто.

В обучении школьников используются … величины, изучение которых хорошо иллюстрирует общее понятии величины при соответствующей постановке обучения.

Рассмотрим пример построения теории величины.

Пусть имеем бесконечное множество В с введенным в нем отношением < (меньше) и операцией + (сложение), которые назовем системой однородных величин, элементы этого множества - однородные величины. Эта система характеризуется свойствами, которые можно принять за аксиомы:

1. a, b: a < b a = b b < a, причем имеет место одно из трех соотношений;

2. a, b, с: a < b b < с a < с - транзитивность ”<”

3. a, b: с: a + b = с - замкнутость B относительно сложения;

4. a, b: a + b = b + a - коммутативность;

5. a, b, с: a + (b + с) = (a + b)+с - ассоциативность сложения;

6. a, b: a + b > a - монотонность сложения;

7. a, b ^ a > b =>!С: b + с = a - возможность вычисления: a - b = c;

8. а n b: nb = a - возможность деления величины на натуральное число: a:n = b;

9. a, b n N: a < nb - аксиома Архимеда;

10. пусть даны две последовательности величин из В:

a1<a2<…<…; и …<…<b2<b1 причем для любой величины «с» при достаточно большом номере n:

bn-an<c,

т.е. члены последовательности {an} и {bn} неограниченно приближаются друг к другу. В таком случае существует единственная величина х € В, к4оторая больше всех an и меньше всех bn - аксиома непрерывности.

Если какую - либо величину с € В принять за единицу измерения, то всякая величина системы В однозначно представима в виде: a = Ьc, где Ь - положительное действительное число: Ь Ђ R, (Ь>0).

Меру а при единице измерения “с” обозначим через m(a), т.е. если a = Ьc, то m(a) = Ь.

Мера обладает следующими свойствами:

1. m - функция с областью определения В и областью значения R, т.е. “m” отображает В на R;

2. монотонность меры;

3. аддитивность меры;

4. мера единицы измерения равна 1.

Перечисленные свойства полностью характеризуют меру “m”, существует единственная функция: В -> R, обладающее этими свойствами, а именно мера m(a) величины а при единице измерения с.

Если с заменить через с', то получается новая мера: m'(a) = a', причем так как m(a) = Ь, то связь между двумя мерами выразиться так: m'(a) = a-1m(a).

Перечисленные свойства общего понятия величины и меры величины находят применения (в явном или не явном виде) при изучении конкретных геометрических величин (длины, площади и объема) в школе.

2. Методика изучения геометрических величин. Теория измерения длин отрезков

Измерение геометрических величин (длины, площади, объема) изучается в школьном курсе дважды, на двух различных уровнях.

На первом, экспериментальном, уровне в начальных классах учатся измерять длины отрезков, площади простейших плоских фигур и объёмы простейших пространственных тел.На этом уровне не дается определений длины, площади и объема. Цель состоит в том, чтобы создать у учащихся ясные интуитивные понятия.

Методика изучения геометрической величины на этом уровне достаточно широко освещена в литературе.

Остановимся на некоторых вопросах методики изучения геометрической величины на втором уровне.

`Школьная' теория измерения геометрических величин должна строиться с сохранением некоторой общей схемы. Это относится прежде всего к определения понятий: «длины», «площадь», «объем».Повторение одной и той же схемы определения способствует обобщению, формирования такого представления: из аналогии вытекает, что эти понятия относятся к одному более общему понятию, связывающему их. Раскрытие этой связи в процессе обучения способствует более глубокому пониманию и прочности знаний. Каждое из трёх понятий определятся как вещественное число, удовлетворяющее условиям, которые характеризуют общие понятия меры множества.

Например, теория измерения длины отрезков может быть построена по такой схеме:

· Определение длины отрезка как вещественного числа, удовлетворяющего условиям 1)-4) понят...