Говорячи про важливу роль теорії подільності чисел в математичному вихованні, А.І. Маркушевич зауважив, що ця теорія є одним з небагатьох розділів математичної науки в (даному випадку теорія чисел), з яким можна без будь-яких скорочень і пропусків, зі всіма необхідними кінцевими визначеннями і доведеннями ознайомити учнів. Цей розділ - логічно стрункий і завершений, розвертаючись ланцюжком невеликої кількості достатньо простих теорем, дає можливість підвести учнів до розуміння теореми Евкліда про існування як завгодно великих простих чисел, алгоритму Ератосфена побудови таблиці простих чисел, алгоритму Евкліда для відшукання найбільшого спільного дільника і застосування цих знань до розв'язування в цілих числах лінійних рівнянь, і нарешті, до розуміння теореми про єдність розкладу цілого числа на прості множники. Вказані твердження і методи є фундаментом теорії чисел і в той же ж самий час є найпростішими доступними учню прикладами теорем існування і єдності і прикладами найпростіших алгоритмів без чого немислимо створити правильне уявлення про математичну науку.

Як бачимо, вивчення теоретико-числового матеріалу в школі має широкі і важливі задачі і тому дослідження питань методики його вивчення є актуальним.

Історія вітчизняної і зарубіжної методики навчання математики свідчить про те, що проблеми вивчення питань подільності чисел завжди розроблялися вчителями і методистами. В певному об'ємі ці питання входили у всі відомі програми і посібники з арифметики. Проблеми змісту і методики вивчення питань подільності чисел в середній школі розглядалися у ряді педагогічних досліджень.

На сучасному етапі перебудови шкільної математики освіти перед методистами і вчителями стоїть складне завдання надання поєднання нових понять і методів навчання з традиційним навчанням матеріалу, що включає і питання теорії подільності чисел. В нових навчальних посібниках для 6 класів (Возняк, Мерзляк, Бевз, Янченко) застосовується теоретико-множинний підхід до викладу питань подільності чисел. На прикладах простих і очевидних тверджень про подільність чисел можна ввести поняття «теорема» і «доведення теореми», а також сформувати уявлення про необхідні і достатні умови. У 7 класі в темі «Тотожні перетворення многочленів» учням пропонується розглянути значне число тверджень пов'язаних з подільністю чисел.

Основними методами дослідження є:

· теоретичний аналіз психолого-педагогічної, навчально-методичної та науково-дослідної літератури з проблеми дослідження;

· аналіз діючих програм, підручників і навчальних посібників;

· вивчення реального стану знань і умінь учнів на протязі роботи;

· аналіз результатів контрольних робіт, тощо;

· педагогічне спостереження;

· бесіди з учнями, вчителями.

Значущість роботи полягає у розробці уроків на тему «Подільність чисел», підборі системи задач та прикладів для проведення відповідних уроків, вимог до засвоєння учнями відповідного матеріалу.

На основі цього можна сформувати проблему дослідження і обґрунтування методики викладання теми «Подільність чисел».

Об'єктом дослідження даної роботи є процес навчання математики в основній школі.

Предметом дослідження є вивчення подільності та її застосування у загальноосвітній школі.

Мета дослідження полягає у обґрунтуванні вимог до математичної підготовки учнів, розробці методики викладу матеріалу теми «Подільність чисел».

Для досягнення мети необхідно:

ь на основі аналізу психолого-педагогічної, науково-методичної літератури та педагогічного досвіду з'ясувати стан методики викладання теми «Подільність чисел»;

ь виявити психолого-педагогічні особливості вивчення теми.

Моя курсова робота складається з двох розділів:

1 розділ - теоретична частина, в якій викладено шкільний матеріал по темі «Подільність чисел».

2 розділ - практична частина, в якій представлено приклади розв'язування вправ, а також задачі без розв'язання для самостійного розв'язування.

1. Теоретичні основи дослідження

Протягом більше 25 століть задачі теорії чисел були улюбленою областю дослідження визначних математиків і багатьох тисяч дилетантів. В теорії чисел значне місце відводиться теорії подільності цілих чисел, зокрема цілих додатних натуральних чисел, висновки і результати вивчення якої поширюються і на цілі від'ємні числа.

Ще в Стародавній Греції, в так званій піфагорійській школі (6 ст. до н.е.), вивчалась подільність цілих чисел. Були відокремлені окремі підкласи цілих чисел, як наприклад, прості числа, складені, квадратні і тому подібні; вивчалася структура так званих досконалих (число а, рівне сумі своїх істинних дільників, тобто натуральних дільників, відмінних від самого а, називається досконалим) і дружніх чисел (якщо для двох чисел а і b сума істинних дільників кожного з них дорівнює іншому, то такі числа називаються дружніми). Було дано розвиток у цілих числах невизначеного рівняння (іншими словами, був вказаний рецепт побудови прямокутних трикутників з цілочисельними сторонами).

Евклід у своїх «Началах» чи «Елементах» дав систематичну побудову теорії подільності. Він вперше запропонував теорему про однозначність розкладу натурального числа на прості множники, яка відіграє основну роль у теорії подільності цілих чисел, і з її допомогою побудував арифметику раціональних чисел. Евкліду були відомі чотири досконалі числа: 6,28,496,8128. Він довів теорему, що N= є досконалим, якщо є простим.

Математики приділяють багато уваги простим числам. Були спроби дізнатися по зовнішньому вигляду просте чи складене це число, а далі вже розглядалась і їх подільність.

Які ж підстави для того, щоб так цікавитись ним?

Насамперед це тому, що будь-яке натуральне число А можна подати у вигляді:

,

де прості числа, - натуральні числа.

Для кожного числа таке подання єдине.

Це твердження називається основною теоремою арифметики.

Прості числа можна назвати «елементарними цеглинами», з яких «будуються» інші числа.

Розглянемо деякі проблеми, що стосуються простих чисел.

Ще у 3 ст. до н.е. видатний давньогрецький учений Евклід довів, що простих чисел безліч. Інший давньогрецький учений Ератосфен винайшов спосіб, користуючись яким можна знаходити прості числа.

Цей спосіб назвали «решето Ератосфена» турбує запитання: чи існує загальна формула для знаходження усіх простих чисел? Остаточної відповіді вчені ще не мають. Але цікаві пошуки в цьому напрямі велися, і варто назвати прізвища математиків, які займалися даною проблемою.

Великий французький учений Марен Мерсенн (1588-1648) цікавився числами виду: . Прості числа, які можна знайти за допомогою цієї формули, називаються числами Мерсенна. Наприклад, такими числами є 3,7,31,127… Проте для n=11 маємо: - складне число, тобто формула Мерсенна описує не тільки прості, а й складні числа.

Леонардо Ейлеру (1707-1783) вдалося довести, що числу - просте.

У 1852 р. Пафнутій Чебишов (1821-1894) довів, що для будь-якого натурального числа n>3 між числами n і 2n-2 завжди міститься просте число.

Наприклад, між числами n=11, 2n-2=20 знаходяться такі прості числа: 13,17,19.

1.2 Основні поняття, теореми, ознаки подільності натуральних чисел