Системи лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами Поняття про стійкість розв яз
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИКИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТОРГОВЕЛЬНО-ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТКОЛОМИЙСЬКИЙ ЕКОНОМІКО-ПРАВОВИЙ КОЛЕДЖРеферат З дисципліни “Математика для економістів”на тему:«Системи лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами. Поняття про стійкість розв’язків»Виконала: студентка групиБ-13 Лавринович ІринаПеревірив викладач: Лугова Л.Б. Коломия-2002ПланПоняття про стійкість розв’язків.Контрольні запитання:Які функції описують незбурений розв’язок?Який розв’язок системи називається стійким за Ляпуновим ?При яких умовах розв’зок називають нестійким ?Який розв’язок називають асимптотично стійким ?Дано рівняння y + y = t з початковою умовою y(0) = 1. Дослідити розв’язок, що задовольняє цю умову, на стійкість.При створенні приладів, конструкцій, машин, що відповідають певним умовам, треба знати, як поводитиметься об’єкт при невеликих перерозподілах сил зміні початкових умов. Той об’єкт, експлуатаційні параметри якого не реагують на ці зміни, називається стійким. Наприклад, при різних відхиленнях маятника від положення рівноваги ( різних початкових умовах ) рух маятника має бути стійким, періодичним. Крило літака має зберегти початкове положення навіть при найменшій зміні початкових умов. Фізично задача про стійкість може бути поставлена так: розглядається деякий рух, що відповідає заданим початковим умовам. Змінимо початкові умови на малу величину. Якщо далі характер руху залишається попереднім чи зміниться мало, то такий рух називається стійким за Ляпуновим. У цьому тлумаченні стійкості залишалось невизначеним поняття “ мала величина”. Підійдемо до питання більш строго. Рух кожного об’єкта описується системою диференціальних рівнянь першого порядку, записаних у нормальній формі: Якщо об’єкт має один степінь вільності, то його рух описується системою: нелінійною ;лінійноюУ системі (1.1) невідомими є функції часу в системах (1.2) і (1.3) – та Нехай функції визначені в n-вимірній кулі радіуса R: для і задовольняють там деякі умови, що гарантують існування неперервно диференційованих функційякі є розв’язком системи (1.1). Доповнимо систему (1.1) початковими умовами. При існує набір чисел взятих з n-вимірної кулі що дає змогу тільки єдиним чином дістати Функціїпри цьому переходять у єдину систему частинних розв’язків системи (1.1):……………………………Надалі треба буде змінювати початкові умови і відповідно частинні розв’язки. При цьому вважаємо, що ці зміни не виводять функції та початкові умови з області визначення правої частини рівняння (1.1). Дамо означення стійкості розв’язку системи (1.1). Нехай відомий частинний розв’язок системи (1.1).
