Маса лінії Координати центра ваги плоскої кривої та фігури
Пошукова робота на тему:Маса лінії. Координати центра ваги плоскої кривої та фігури Приклади застосування означеного інтеграла до розв’язування простих задач механіки, фізики та інших областей. Деякі застосування в економіці.ПланМаса плоскої лінії Статичні моменти і центр ваги Обчислення моментів інерції Обчислення роботи Деякі задачі прикладного характеру 1. Застосування інтегрального числення у фізиці,механіці, техніці1.1. Маса плоскої лінії У класичній механіці матеріальні тіла часто зображують як просторову область , що заповнена без прогалин речовиною. Якщо відома маса тіла і об’єм тієї області , яку вона заповнює, то відношення маси до називається середньою густиною . Часто доводиться мати справу з тілами, в яких густина в околі різних точок різна. Тоді густина буде функцією точки , що належить області , тобто . Якщо розглянути нескінченно малу область , що оточує точку , об’єм якої дорівнює , маса – , то . Звідки .У випадку, коли є функцією лише однієї змінної, наприклад , а (саме цей випадок тут і розглядатиметься), то , (10.13) де .Якщо розглядати матеріальну плоску криву з лінійною густиною розподілу мас то маса елементарного кусочка кривої буде звідки одержимо формулу для обчислення маси кривої (10.14)1.2. Статичні моменти і центр вагиВизначення. Статичним моментом матеріальної точки маси відносно осі (площини) називається добуток маси точки на її відстань від осі (площини) :. Про статичний момент відносно осі говорять лише тоді, коли система матеріальних точок (неперервна або дискретна) є плоскою, тобто знаходиться в одній і тій самій площині, що й вісь. Якщо ж система матеріальних точок не належить одній площині, то мова може йти лише про статичний момент відносно площини.Для системи матеріальних точок мас статичний момент відносно осі (площини) визначається сумою , де – відстані зі знаком ”+” або “-” залежно від того, де знаходяться точки (для точок, що лежать з одного боку від осі (площини) береться, наприклад, знак “+”, тоді для точок, що лежать з іншого боку, знак “-”).Нехай у прямокутній системі координат задана неперервна плоска система матеріальних точок (лінія ) або плоска фігура . Густина (лінійна для лінії, поверхнева для фігури) є функцією однієї змінної, наприклад , тобто Виділивши на лінії елемент дуги, віддалений від осі на відстань (від осі на відстань ) знайдемо елементарні статичні моменти відносно осей і : Отже, (10.15)Якщо центр ваги має координати ,Звідси (10.16)Розглянемо тепер питання про знаходження центра ваги плоскої фігури, густина маси якої Рис.10.11. Якщо центр ваги фігури (рис. 10.11) знаходиться в точці , а маса фігури , то згідно з формулами (10.16) , для знаходження і потрібно знати статичні моменти і масу фігури. Виділимо на осі елемент і побудуємо смужку, паралельну осі . Її довжина дорівнює Оскільки густина є функцією лише , то по всій довжині смужки густину можна вважати сталою, саму смужку – прямокутником (бо – нескінченно мала величина, а тому центр ваги смужки знаходитиметься в точці з координатами ). Маса смужки . Отже, Знехтувавши нескінченно малою вищого порядку, одержимо Остаточно маємо (10.17) (10.18)Тепер, користуючись формулами (10.16), легко записати координати центра ваги фігури. Можна знайти і статичні моменти деяких тіл, якщо вдасться виразити густину у функції однієї змінної. Із формул (10.15) і (10.16) при , одержимо де – довжина дуги, Помноживши останні дві рівності на
