Основні задачі математичної фізики
Тема: Основні задачі математичної фізики.Лекція №1ПланПриклади фізичних процесів, що приводять до крайових задач для диференціальних рівнянь в частинних похідних.Приклади постановок таких задач.Класифікація диференціальних рівнянь 2-го порядку в частинних похідних.Рівняння коливань струни.Розв’язок задачі Коші методом ДаламбераПитання для самоконтролю.Лекція №1.В чому полягає дисципліна: рівняння математичної фізики?Від чого залежить розв’язування рівнянь з частинними похідними 2-го порядку?Приклади рівнянь еліптичного типу.Як називається і до якого типу належить рівняння:?В чому полягає крайова задача для рівняння коливання струни?Записати формулу Даламбера, яка дає розв’язок одномірного однорідного хвильового рівняння.Література:А.Н.Тихонов, А.А.Самаровский “Уравнения математической физики”, Гостехиздат, 1954.Н.С.Пискунов “Диференциальное и интегральное исчисление”, т.ч., Москва, 1972.П.И.Чинаев, Н.А.Минин и др. “Висшая математика, специальные главы”, Киев, 1981.О.В.Мантуров та ін. “Математика в поняттях, означеннях, термінах”, т.ч., Київ, 1986.П.Е.Данко, А.Г.Попов “Высшая математика в упражнениях и задачах”, ч.2, Москва, 1974.Лекція №1.Тема: Основні задачі математичної фізики.В курсі вищої математики вивчалися звичайні диференціальні рівняння, розв’язками яких є функції відносно аргументу. Але багато задач в математиці, фізиці, електроніці, радіотехніці та в інших науках приводять до диференціальних рівняннь відносно функцій двох, трьох та більше числа аргументів – диференціальні рівняння в частинних похідних.Існує спеціальна дисципліна, яка полягає в математичному опису явищ, пов’язаних з деякими фізичними процесами, що описуються за допомогою рівняннь у частинних похідних і (рідко) за допомогою інтегральних рівняннь або інтегро-диференціальних рівняннь. Ця математична диспліна називається рівняннями математичної фізики.Провідне місце в рівняннях математичної фізики посідає теорія рівняннь з частинними похідними 2-го порядку:де аij, bi, c – задані функції змінних х1, х2, …, х3 (n 2). Властивості розв’язування цих рівняннь істотно залежать від знаків коренів характеристичного рівняння det(|| alk|| - E)=0. Так для диференціального рівняння з частинними похідними 2-го порядку характеристичне рівняння буде:d11dy2-2a12dxdy+a22dx2=0.Інтеграли цього рівняння називаються характеристиками.Це характеристичне рівняння можна записати й так Якщо а12-а11а22>0, то інтеграли характеристичного рівняння (х,у)=С1 і (х,у)=С2 дійсні і різні. В цьому випадку кажуть, що рівняння має гіперболічний тип.Якщо , то характеристичне рівняння має комплексні (спряжені) загальні інтеграли і є рівнянням еліптичного типу.І якщо , то характеристичне рівняння має комплексні (спряжені...
