Бульові функції
Реферат на тему:Бульові функції1. Алгебри бульових виразів і бульових функцій7.1.1. Основні поняттяМножину {0, 1} позначимо літерою B. Множину всіх можливих послідовностей з 0 і 1 – Bn. Такі послідовності за традицією будемо називати наборами або векторами довжини n. Очевидно, Bn містить 2n елементів. Значення 0 і 1 називаються протилежними одне до одного.Означення. Всюди визначена функція з Bn у B називається n-місною функцією алгебри логіки або n-місною бульовою функцією.Послідовність змінних (x1, x2, …, xn) із значеннями у B позначимо . Бульова функція f() задається у вигляді таблиці, або графіка зі стандартним розташуванням наборів:Зауважимо, що в стандартному розташуванні набори можна розглядати як двійкові записи послідовних чисел від 0 до 2n-1. Функцію, задану зі стандартним розташуванням наборів, можна ототожнити з набором довжини 2n. Наприклад, двомісну функцію, задану таблицеюможна ототожнити з вектором (1011).Далі іноді будемо позначати n-місну функцію f() як f(n)(), підкреслюючи кількість змінних, від яких вона залежить.Очевидно, що множина всіх можливих наборів довжини 2n, тобто множина n-місних бульових функцій, складається з 22n елементів. При n=0 це 2, при n=1 – 4, при n=2 – 16, при n=3 – 256 тощо.Нуль-місними функціями є сталі 0 і 1.Одномісні функції подано у наступній таблиці разом з виразами, якими ці функції позначаються:Функції 0 і 1 називаються тотожними нулем і одиницею, функція x – тотожною, x – запереченням. Замість виразу x вживається ще вираз . Ці вирази читаються як "не x".Подамо також деякі з 16 двомісних функцій разом із їх позначеннями:Функція, позначена виразом xy, називається кон'юнкцією і позначається ще як x&y, xy або xy. Усі ці вирази читаються як "x і y".Функція, позначена виразом xy, називається диз'юнкцією. Вираз читається як "x або y".Функція, позначена виразом xy, називається імплікацією і позначається ще як xy. Ці вирази читаються як "x імплікує y" або "з x випливає y".Функція, позначена виразом xy, називається еквівалентністю і позначається ще як x~y або xy. Ці вирази читаються як "x еквівалентно y", що в даному випадку збігається з "x дорівнює y".Функція, позначена виразом xy, називається додаванням за модулем 2 або "виключним або". Зауважимо, що її значення є протилежними до значень еквівалентності.Функція, позначена виразом x|y, називається штрихом Шеффера і має значення, протилежні значенням кон'юнкції. Її вираз читається як "не x або не y".Функція, позначена виразом xy, називається стрілкою Пірса і має значення, протилежні значенням диз'юнкції. Її вираз читається як "не x і не y".Зауважимо, що інфіксні позначення наведених функцій вигляду x f y, де f – відповідний знак, склалися історично. Їх так само можна позначати й у вигляді f(x, y), наприклад, (x, y).З тримісних функцій наведемо лише так звану функцію голосування m(x, y, z), графік якої має такий вигляд:Її назва зумовлена тим, що її значення на кожному наборі збігається з більшістю значень змінних у цьому наборі.Множину всіх n-місних функцій позначимо P(n), а множину всіх функцій, тобто об'єднання P(n) по всіх n – P2.Перейдемо до означення таких понять, як алгебра бульових функцій і алгебра формул.Алгебри бульових функцій, як і всі інші алгебри, визначаються своїми носіями та сигнатурами операцій. Носіями в алгебрах бульових функцій є множини функцій. Сигнатуру складає операція суперпозиції, або підстановки.Означення. Нехай є n-місна функція f(n)() і n функцій g1(y1,1, y1,2, …, y1,m1), g2(y2,1, y2,2, …, y2,m2), …, gn(yn,1, yn,2, …, yn,mn), залежні від змінних з деякої їх множини Y={y1, y2, …, yk}. Суперпозицією, або підстановкою функцій g1, g2, …, gn у функцію f(n) називається функція h(m)(y1, y2, …, ym), кожне значення якої h(1, 2, …, m) визначається якf(n)(g1(1,1
