Подвійний інтеграл його властивості
Пошукова робота на тему:Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості.ПланЗадачі геометричного і фізичного змісту, що приводять до поняття подвійного інтеграла Означення подвійного інтеграла Теорема існування Властивості подвійного інтеграла ПОДВІЙНІ ІНТЕГРАЛИ1. Означення Визначення об’єму циліндричного тіла. Циліндричним називається тіло, обмежене зверху поверхнею, рівняння якої , з боків - циліндричною поверхнею з твірними, паралельними осі , знизу - площиною . Область , що висікається в площині циліндричною поверхнею, називається основою циліндричного тіла. В частинних випадках бічна циліндрична поверхня може бути відсутня; наприклад, тіло, обмежене площиною і верхньою частиною кулі . Поставимо задачу про визначення об’єму циліндричного тіла. Для цього припустимо, що функція неперервна в області і що поверхня повністю лежить над площиною , тобто скрізь в області . Розіб’ємо область якими-небудь лініями на частин (рис.11.1), які називатимемо площадками. Щоб не вводити нових символів, позначатимемо через також площі цих площадок (двохвимірні міри). У кожній із площадок виберемо точки і позначимо через значення функції у вибраних точках. Через межу кожної площадки проведемо циліндричну поверхню з твірною, паралельною осі . Тоді циліндричне тіло буде розбите на циліндричних елементарних тіл. Замінивши кожне з них на прямий циліндр з тією самою основою і висотою , в результаті дістанемо об’єм - ступінчастого тіла:(11.1) Ця сума називається інтегральною сумою для функції в області .Беручи об’єм розглядуваного тіла приблизно таким, що дорівнює об’єму побудованого - ступінчастого тіла, вважатимемо, що тим точніше виражає , чим більше і чим менша кожна з площадок. Переходячи до границі в (11.1) при вимагатимемо, щоб до нуля розміри (при цьому площадка стягуватиметься у точку, тобто її найбільший діаметр ). Відповідно до викладеного беремо шуканий об’єм таким, що дорівнює границі, до якої прямує при : Рис.11.1. (11.2) Можна абстрагуватися від задачі про знаходження об’єму тіла і дивитися на вираз (11.2) як на деяку операцію, що проводиться над функцією, визначеною на Ця операція називається операцією подвійного інтегрування функції (або ) за областю , а її результат – означеним інтегралом від по і позначається так: . Отже, об’єм циліндричного тіла . (11.3) Маса тіла. Нехай тепер в трьохвимірному просторі, де визначена прямокутна декартова система координат , задано тіло (множина) з неперервно розподіленою в ньому масою з густиною розподілу ( ). Потрібно визначити масу тіла . Розіб’ємо на частин об’єми (трьохвимірні міри) яких ( в припущенні, що вони існують) позначимо або Виберемо довільним чином в кожній частині точку і тоді маса тіла (по аналогії із об’ємом циліндричного тіла) дорівнює Рис.11.2 Рис.11.3 (11.4) Знову ж таки на вираз (11.4) можна дивитися як на певну операцію над функцією , що задана в трьохвимірному просторі .Ця операція на цей раз називається операцією потрійного інтегрування (за Ріманом 1)), а її результат – визначеним потрійним інтегралом, що позначається так: Отже, (11.5) До знаходження таких границь приводять не тільки задачі про визначення об’єму циліндричного тіла і знаходження маси, але й інші задачі. Нижче ми побачимо, що частина теорії кратного інтегрування, зокрема, теореми існування і теореми про аддитивні властивості інтеграла, може бути викладена цілком аналогічно як в одновимірному, так і в вимірному випадку. Проте в теорії кратних інтегралів виникають певні труднощі, яких не було в теорії звичайного означеного інтеграла. Справа в тому, що однократний інтеграл Рімана 1) ми визначали для дуже простої множини – відрізку який дробився знову на відрізки. Ніяких труднощів у визначенні довжини (одновимірної міри) відрізків не виникало. Проте у випадку подвійних, потрійних і, взагалі, кратних інтегралів область інтегрування доводиться ділити (лініями, поверхнями, гіперповерхнями) на частини з криволінійним...
Другие файлы:
Подвійний інтеграл
Задачі, що приводять до поняття подвійного інтеграла. Обчислення об'єму циліндричного тіла. Маса неоднорідної матеріальної пластини. Поняття подвійног...
Потрійний інтеграл
Характеристика та поняття потрійного інтеграла, умови його існування та основні властивості. Особливості схеми побудови та обчислення потрійного інтег...
Інтеграл Стілтьєса
Означення і основні властивості інтеграла Стілтьєса, його зв’язок, особливості і відмінності від інших визначених інтегралів і загальні умови існуванн...
Криволінійні інтеграли
Криволінійний інтеграл по довжині дуги. Обчислення визначеного інтеграла. Параметричні рівняння кривої. Властивості криволінійного інтеграла першого р...
Застосування подвійних інтегралів
Заміна змінних у подвійному інтегралі. Подвійний інтеграл у полярних координатах. Застосування формул перетворення координат та оберненого перетворенн...
