Экономико-математическое моделирование анализа ресурсов

Экономико-математическая модель для анализа ресурсов в форме отчета устойчивости. Проверка продуктивности технологической матрицы коэффициентов прямых материальных затрат. Оценка точности моделей на основе средней относительной ошибки аппроксимации.
Краткое сожержание материала:

1. Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный - 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. Ед., а улучшенный - 4 ден. Ед. какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

Решение:

Условие задачи:

стоимость	3	4
Состав удобрения	Количество удобрений	Необходимый минимум
	обычное	улучшенное
Азотное	3	2	10
Фосфорное	4	6	20
Калийное	1	3	7

1 составим математическую модель:

Обозначим через x_j количество кг удобрения

x₁- количество кг обычного удобрения;

x₂- количество кг улучшенного удобрения.

Цель - наименьшая стоимость удобрения,

F= 3x₁+4x₂ >min

Ограничения:

По азотным удобрениям 3х₁+2х₂?10

По фосфорным удобрениям 4х₁+6х₂?20

По калийным удобрениям 1х₁+3х₂?7

По смыслу х₁?0 х₂?0

Решим графическим способом.

Первое ограничение (по азоту) имеет вид 3х₁+2х₂?10 найдем пересечение с осями координат, т. е. 3х₁+2х₂=10 - l₁

Х1	0	10/3
Х2	5	0

0<10, верно, выбираем полуплоскость по направлению к (.) О

Второе ограничение 4х₁+6х₂=20 - l₂

Х1	0	5
Х2	10/3	0

0<20, верно, выбираем полуплоскость по направлению к (.) О

Третье ограничение х₁+3х₂=7- l₃

Х1	0	7
Х2	7/3	0

0<7 верно, выбираем полуплоскость по направлению к (.) О

Для определения направления движения к оптиму построим вектор - градиента Їс (с₁;с₂), координаты которого являются частными производными целевой функции, т. е. с (3;4).

Построим линию уровня l_0, приравняем целевую функцию к 0

3х₁+4х₂=0

Х1	0	-4
Х2	0	0

Передвигая линию уровня l0 в направлении обратном направлению вектора - градиента, т. к задача на минимум, достигнем минимальную точку целевой функции. Найдем координаты этой точки, решая систему из двух уравнений прямых, дающих в пересечении точку минимума:

(.) А = l₁?l₃

3х₁+2х₂=10, *3 «-»

4х₁+6х₂=20

5х₁=10

х₁=2

Подставим в первое уравнение 3*2+2х₂=10,

2х₂=10-6,

2х₂=4,

х₂=2.

Fmin=3*2+4*2=6+8=14 ден. ед.

График:

Ответ: чтобы обеспечить эффективное питание почвы при минимизированной стоимости, которая составила 14 ден ед, необходимо купить 2 набора обычного удобрения и 2 набора улучшенного. Если данную задачу решать на максимум, то задача не имеет решения, так как целевая функция не ограничена сверху, т. е Fmax=+?

2. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

тип сырья	норма расхода сырья на одно изделие	запасы сырья
	А	Б	В	Г
1	2	1	3	2	200
2	1	2	4	8	160
3	2	4	1	?	170
цена изделия	5	7	3	?

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теории двойственности.

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

§ Проанализировать использования ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

§ Определить, как изменяется выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья 1 и2 вида на 8 и 10 единиц соответственно и уменьшении на 5 единиц запасов сырья 3 вида;

§ Оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 единиц, на изготовление которой расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Решение:

Сформулируем экономико - математическую модель задачи.

Переменные:

х₁- количество единиц продукции А,

х₂- количество единиц продукции Б,

х₃- количество единиц продукции В,

х₄- количество единиц продукции Г.

Целевая функция: F=5х₁+7х₂+3х₃+6х₄ >max,

Цель максимизировать выручку от реализации готовой продукции

Ограничение:

По 1 типу ресурса: 2х₁+х₂+3х₃+2х₄?200,

По 2 типу ресурса: х₁+2х₂+4х₃+8х₄?160,

По 3 типу ресурса: 2х₁+4х₂+х₃+х₄?170,

По смыслу х₁;х₂;х₃;х₄ ?0.

Решение задачи выполним с помощью надстройки Excel Поиск Решения. Выбираем результат поиска решения в форме отчета Устойчивости.