Определение наиболее выгодного суточного объема выпуска изделий, обеспечивающего максимум прибыли. Построение математической модели задачи, ее решение графическим методом и в среде MS Excel. Расчет диапазона дефицитности ресурсов и дрейфа оптимума.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Содержание

1. Содержательная постановка оптимизационной задачи

2. Математическая модель в аналитическом и информационном виде

3. Графический метод решения

4. Определение диапазона дефицитности ресурсов b_j, динамики ОДР и дрейфа оптимума

5. Решение задачи табличным симплекс-методом

6. Решение задачи в среде MS Excel

7. Факторы эффективности решения задачи исследования и оптимального планирования операций

Литература

1. Содержательная постановка оптимизационной задачи

В цеху по сборке изделий А, В, С, D работают четыре линии. Во время сборки изделия А линию 1 не используют, а во время сборки изделия D используют только линии 1 и 3. Эти технологические линии имеют ограничение времени работы в сутки: линия 1 - 1000 мин, линия 2 - 600 мин, линия 3 - 780 мин, линия 4 - 800 мин.

В таблице 1 приведены продолжительности технологических операций на линиях во время сборки изделий каждого вида.

Таблица 1

Изделие	Продолжительность технологической операции, мин/изд.
	Линия 1	Линия 2	Линия 3	Линия 4
A	-	1	3	1
B	2	5	1	10
C	3	4	10	20
D	50	-	12	-

Прибыль от продажи изделий: A - 6 y.e.; B - 5 y.e.; C - 6 y.e.; D - 5 y.e.

Определить наиболее выгодный суточный объем выпуска изделий каждого вида, обеспечивающий максимум прибыли.

2. Математическая модель в аналитическом и информационном виде



с_j - норма расхода i-го вида ресурсов на управляющую переменную x_j

x_j - управляющая переменная

b_i - виды ресурсов

3. Графический метод решения

Для данной системы ограничения построим область допустимых решений (ОДР) которая образуется путем пересечения всех полуплоскостей системы ограничений, т.е. любая точка ОДР (на границе и внутри области) является допустимым решением задачи.

Пересечения полуплоскостей строим по точкам пересечения границ полуплоскостей с осями координат.

При данных условиях ограничения, для построения области необходимо отбросить две переменные (х_3, х₄).

Построим ОДР и целевую функцию, соответствующую данным ограничениям.

Решение задачи методом обхода вершин ОДР

Вершина ОДР	Координаты вершины	Значения целевой функции F	Примечание
	x1	x2
A	0	0,8	4
B	2,414	0,559	17,279	Max F
C	2,6	0	15,6
D	0	0	0	Min F

Сравнивая значения целевой функции F в вершинах ОДР, видим, что в точке B (x1=2,414; x2=0,559) целевая функция достигает своего максимума. Следовательно, оптимальным планом производства является выпуск изделий в объеме x1=241,4, x2=55,9, при этом прибыль будет максимальной F=1727,9 у.е.

Решение задачи методом касательной.

Функция F представляет собой пучок параллельных прямых, каждая из которых соответствует определенному значению функционала. Например, при 4,1x₁+4,3x₂=5 целевая функция соответствует прямой, пересекающей ОДР. Значение целевой функции возрастает при параллельном перемещении прямой по направлению стрелки и достигает максимального значения в вершине С, в которой график целевой функции является касательной к ОДР.

Оптимальным решением задачи является значение:

х₁ = 2,414, х₂ = 0,559

f(2,414;0,559) = 17,279*100=1727,9 у.е.,

при этом ЦФ достигает своего максимума.

Определим устойчивость данного оптимального решения при изменении коэффициентов целевой функции. То есть определим диапазон изменения коэффициентов целевых функций, при которых оптимум остается неизменным (х₁ = 2,414, х₂ = 0,559).

Точка оптимума образуется пересечением дефицитных ограничений 3 и 4.

Определим диапазон устойчивости коэффициента C₁.

С₂=const=5.

Построим графики ЦФ

при С₁=0,5 F₁=0,5x₁+5x₂=4

при С₁=15 F₂=15x₁+5x₂=39

Правая часть ЦФ вычисляется путем подстановки координат точки оптимума B(2,414,0,559) в данные уравнения.



Значение ЦФ меняется в интервале от 4 до 39, образуется центральный пучок целевых функций с центром в вершине B(2,414;0,559), при котором точка оптимума устойчива. За пределами диапазона устойчивости С₁ точка оптимума будет меняться. При С₁<0,5 угол наклона ЦФ становится таким, что оптимум из вершины B дрейфует в вершину C. При С₁>15 оптимум из вершины B дрейфует в вершину A.

Определим диапазон устойчивости коэффициента C₂.

С₁=const=6

Построим графики ЦФ

при С₂=2 F₃=6x₁+2x₂=15,6

при С₂=60 F₄=6x₁+60x₂=48

Значение ЦФ меняется в интервале от 15,6 до 48, образуется центральный пучок целевых функций с центром в вершине B(2,414;0,559), при котором точка оптимума устойчива. За пределами диапазона устойчивости С₁ точка оптимума будет меняться. При С₁<2 угол наклона ЦФ становится таким, что оптимум из вершины B дрейфует в вершину A. При С₁>60 оптимум из вершины B дрейфует в вершину C.

4. Определение диапазона дефицитности ресурсов b_j, динамики ОДР и дрейфа оптимума

Точка оптимума, вершина B, образована пересечением двух дефицитных ресурсов b₃ и b₄. Определим диапазон дефицитности ресурса b₃ b₃^min?b₃?b₃^max и определим дрейф точки оптимума.

При уменьшении b₃ прямая перемещается параллельно самой себе и достигает точки касания к вершине ОДР. При этом точка B дрейфует вдоль (4) и перемещается в B₁`, B<sub>1</sub>``, B<sub>1</sub>```. Дальнейшее уменьшение ресурса b<sub>3</sub> находится за пределами ОДР и он становится не дефицитным. Ресурс, уменьшаясь, образует пучок параллельных прямых, b<sub>3</sub><sup>min</sup>=0,8. Увеличивая правую часть b<sub>3</sub> строим пучок параллельных прямых, приходим в B<sub>2</sub>`.

b₃^max= 13,1, отсюда следует 80?b₃?1310

Определим диапазон дефицитности ресурса b₄ b₄^min?b₄?b₄^max и определим дре...