Регрессионный анализ. Факторный эксперимент

Построение уравнения регрессии, учитывающего взаимодействия факторов, проверка полученной модели на адекватность. Построение математической модели и нахождение численных значений параметров этой модели. Вычисление коэффициентов линейной модели.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Размещено на

Московский Авиационный Институт

(Национальный Исследовательский Университет)

Курсовая работа

по дисциплине: Теория идентификации и диагностики САУ

«Регрессионный анализ. Факторный эксперимент»

Выполнил:

студент гр. 03-504 Хвостов И.П.

Принял: Хайрнасов К.З.

Москва, 2012

Задание

1) Для исследования влияния некоторых факторов вакуумной сушки на усадку платы по площади y (% полученной площади образца после сушки от первоначальной) были поставлены эксперименты по плану ПФЭ 23. В качестве факторов, влияющих на эту величину, бы- ли выбраны следующие:

Требуется построить уравнение регрессии, учитывая взаимодействия факторов, проверить полученную модель на адекватность и произвести ее интерпретацию.

Исходная матрица планирования ПФЭ 23

№ экспери- мента	Изучаемые факторы	Результаты опытов
	z1	z2	z3	y1	y2	y3
1 2 3 4 5 6 7 8	- + - + - + - +	- - + + - - + +	- - - - + + + +	1,23 1,24 1,25 0,803 0,802 0,805 0,98 0,99 0,97 0,474 0,476 0,475 0,27 0,28 0,26 0,926 0,926 0,918 0,49 0,49 0,49 0,694 0,692 0,696

С помощью кода Хемминга проверить обнаружить и скорректировать одиночную ошибку в двоичном коде числа.

Количество информационных разрядов m=7, контролирующих кодов k=4.

Исходное слово: 00101102

Теоретическая часть

Полный факторный эксперимент (ПФЭ) - совокупность нескольких измерений, удовлетворяющих следующим условиям:

Количество измерений составляет 2n, где n - количество факторов;

Каждый фактор принимает только два значения - верхнее и нижнее;

В процессе измерения верхние и нижние значения факторов комбинируются во всех возможных сочетаниях.

Преимуществами полного факторного эксперимента являются

простота решения системы уравнений оценивания параметров;

статистическая избыточность количества измерений, которая уменьшает влияние погрешностей отдельных измерений на оценку параметров.

Оценка параметров системы

В практической деятельности часто требуется оценить параметры некоторой системы, то есть построить её математическую модель и найти численные значения параметров этой модели. В качестве исходных данных для построения модели служат результаты эксперимента, который представляет собой совокупность нескольких измерений, выполненных по определённому плану. В простейшем случае план является описанием условий проведения измерений, то есть значения входных параметров (факторов) во время измерения.

В качестве примера систем, оценка параметров которых актуальна с практической точки зрения, могут служить различные технологические процессы. Для иллюстрации рассмотрим процесс фотолитографии.

Фотолитография представляет собой нанесение рисунка на поверхность фотографическим методом. Она состоит из следующих этапов: подготовка поверхности, нанесение фоточувствительной эмульсии (фоторезиста), сушка, установка трафарета или пластины с негативным рисунком, экспозиция (засвечивание) ультрафиолетовыми лучами, травление (проявление). Поскольку технологические тонкости фотолитографии в данном контексте не важны, в качестве основных факторов, влияющих на процесс литографии, будем считать толщину фоточувствительной эмульсии d(в микронах) и время экспозиции t(в секундах). Выходным параметром (откликом) процесса будем считать его разрешение R, то есть максимальное количество различимых линий, которые возможно провести на одном миллиметре поверхности. Эта величина определяется путём нанесения на поверхность специального тестового изображения.

Итак, технологический процесс фотолитографии описывается некоторой функцией вида

Построение модели технологического процесса позволяет выявить поведение отклика системы в зависимости от изменения факторов и тем самый найти пути для оптимизации технологии. Для данного конкретного случая -- выбрать такую толщину эмульсии и время экспозиции, которые обеспечат наилучшее качество изображения.

В общем случае отклик системы описывается некоторой функцией переменных

Математическая модель системы получается в результате апроксимации этой функции какой-либо другой функцией, например линейной

,

где - искомые параметры модели.

На рисунке в графическом виде представлен процесс построения линейной модели процесса фотолитографии, где - толщина плёнки фотоэмульсии, - время экспонирования, -- разрешение, полученное в данных условиях. Функция нелинейна, однако в достаточной близости от точки её можно заменить касательной плоскостью . В показанной на рисунке области максимальная ошибка модели составляет .

Зная коэффициенты модели , можно с определённой точностью предсказывать значение функции (а значит и поведение системы) в окрестностях точки . В определении значений коэффициентов и состоит цель эксперимента.

Матрица ПФЭ в общем виде

В общем виде матрица полного факторного эксперимента с n факторами имеет вид

Свойства матрицы ПФЭ

Матрица ПФЭ обладает следующими свойствами:

Число строк в матрице равно 2n;

Нулевой столбец матрицы состоит из единиц:

В столбцах 1...n находятся все возможные 2n сочетаний значений -1 и +1;

В последнем столбце находятся результаты измерений, полученные при значениях факторов, записанных в соответствующих строках в столбцах 1...n.

Сумма элементов нулевого столбца всегда равна 2n:

Сумма элементов любого столбца, кроме нулевого и последнего, равна нулю:

Два последних выражения можно объединить в единое соотношение:

где - единичная матрица, ;

Сумма квадратов элементов любого (кроме последнего) столбца всегда равна 2n:

Сумма произведений соответственных элементов двух любых столбцов (кроме последнего) равна нулю:

Два последних выражения можно записать как ортогональность столбцов матрицы:

Вычисление коэффициентов линейной модели

Коэффициенты линейной модели в нормированных координатах вычисляются по формулам:

Коэффициенты линейной модели в естественных (ненормированных) координатах вычисляются по формулам:

Преобразование естественных факторов в нормированные и обратно

Дробный факторный эксперимент

Количество опытов в полном факторном эксперименте значительно превосходит число определяемых коэффициентов линейной модели. Другими словами, полный факторный эксперимент обладает большой избыточностью опытов. Было бы заманчивым сократить их число за счет той информации, которая не очень существенна при построении линейных моделей. При этом нужно стремиться, чтобы матрица планирования не лишилась своих оптимальных свойств. Сделать это не так просто, но все же возможно. Итак, начнем поиск путей минимизации опытов.

Минимизация числа опытов

Начнем с самого простого - полного факторного эксперимента 2k. Запишем еще раз матрицу планирования

№ опыта	x0	x1	x2	(x3) x1x2	y
1	+	-	-	+	y1
2	+	+	-	-	y2
3	+ ... Другие файлы: Активный и пассивный эксперименты идентификации объектов Идентификация динамических объектов. Полный факторный эксперимент. Метод наименьших квадратов и регрессионный анализ. Фиксированный набор уровней факт... Факторный индексный анализ. Методика и проблемы Понятие, типы и задачи факторного анализа. Детерминированный факторный анализ. Факторный анализ может быть одноступенчатым и многоступенчатым. Статист... Прикладной линейный регрессионный анализ. До недавнего времени регрессионный анализ опирался на тщательно разработанную систему предпосылок, выполнение которых гарантировало оптимальность полу... Статистический анализ экономического развития Бразилии Промышленность, сельское хозяйство и транспорт Бразилии, ее роль в мировом хозяйстве. Базовый анализ экономических показателей страны. Корреляционный,... Корреляционно-регрессионный анализ показателей производственно-хозяйственной деятельности предприятий машиностроения Контроль информации на наличие выбросов в массиве. Описательная статистика, вывод итогов. Матрица коэффициентов парной корреляции. Количественный крит...