Расчет минимального значения целевой функции. Планирование товарооборота для получения максимальной прибыли торгового предприятия. Анализ устойчивости оптимального плана. План перевозки груза от поставщиков к потребителям с минимальными затратами.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

33

Размещено на

Контрольная работа

Применение математических методов в моделировании

экономических процессов

Задача № 24

Построить на плоскости область допустимых решений системы линейных неравенств и найти максимальное и минимальное значения линейной функции цели в этой области.

Решение

целевая функция затрата товарооборот

Необходимо найти минимальное значение целевой функции F = 3x₁+6x₂ > min, при системе ограничений:

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).



Или

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи. Обозначим границы области многоугольника решений.



Рассмотрим целевую функцию задачи F = 3x₁+6x₂ > min. Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 3x₁+6x₂ = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Равный масштаб

Область допустимых решений представляет собой многоугольник.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке A. Так как точка A получена в результате пересечения прямых (5) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

Решив систему уравнений, получим: x₁ = 0, x₂ = 0

Откуда найдем минимальное значение целевой функции:

F(X) = 30 + 60 = 0

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 3x₁+6x₂ > max. Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 3x₁+6x₂ = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.



Равный масштаб

Область допустимых решений представляет собой многоугольник.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке G. Так как точка G получена в результате пересечения прямых (2) и (4), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

Решив систему уравнений, получим: x₁ = 4, x₂ = 2.5

Откуда найдем максимальное значение целевой функции:

F(X) = 34 + 62.5 = 27

Поскольку функция цели F(x) параллельна прямой (2), то на отрезке GE функция F(x) будет принимает одно и тоже максимальное значение.Для определения координат точки E решим систему двух линейных уравнений:

Решив систему уравнений, получим: x₁ = 3, x₂ = 3

Откуда найдем максимальное значение целевой функции:

F(X) = 33 + 63 = 27

Ответ: минимальное значение целевой функции F(X) = 0; максимальное значение целевой функции: F(X) = 27.

Задача № 38

Для реализации трех групп товаров коммерческое предприятие располагает тремя видами ограниченных материально-денежных ресурсов в количестве b_{1 ,}b₂, b₃ единиц. При этом для продажи 1 группы товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется ресурса первого вида в количестве а₁₁ единиц, ресурса второго вида в количестве а₂₁ единиц, ресурса третьего вида в количестве а₃₁ единиц. Для продажи 2 и 3 групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется соответственно ресурса первого вида в количестве а_12, а₁₃ единиц, ресурсов второго вида в количестве а₂₂, а₂₃ единиц, ресурсов третьего вида в количестве а₃₂, а₃₃ единиц. Прибыль от продажи трех групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота составляет соответственно с_1, с_2, с₃ (тыс. руб.).

Определить плановый объем и структуру товарооборота так, чтобы прибыль торгового предприятия была максимальной.

38. а₁₁=18, а₁₂=9, а₁₃=6, а₂₁=4, а₂₂=2, а₂₃=4, а₃₁=3, а₃₂=3, а₃₃=1,

b₁=540, b₂=340, b₃=120, c₁=3, c₂=4, c₃=3.

Решение

Запишем исходные данные в таблицу:

Виды материально-денежных ресурсов	Норма затрат материально-денежных ресурсов на ед. товарооборота , тыс. руб.	Объем ресурсов bi
	А группа	В группа	С группа
Ресурс 1 вида	18	9	6	540
Ресурс 2 вида	4	2	4	340
Ресурс 3 вида	3	4	3	120
Прибыль, т.руб.	3	4	3	мax

1. Запишем математическую модель задачи.

Определить =(х₁,х₂,х₃) , который удовлетворяет условиям

и обеспечивают максимальное значение целевой функции

F()= (3x₁+4x₂+3x₃)

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

В 1-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x₄. В 2-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x₅. В 3-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x₆.

18x₁ + 9x₂ + 6x₃ + 1x₄ + 0x₅ + 0x₆ = 540

4x₁ + 2x₂ + 4x₃ + 0x₄ + 1x₅ + 0x₆ = 340

3x₁ + 4x₂ + 3x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 1x₆ = 120

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:

x₄, x₅, x₆,

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,0,540,340,120)

Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x4	540	18	9	6	1	0	0
x5	340	4	2	4	0	1	0
x6	120	3	4	3	0	0	1
F(X0)	0	-3	-4	-3	0 Другие файлы: Моделирование физических процессов Применение математических методов в моделировании физических процессов, распределение информации и использование языка программирования Pascal. Постро... Математическая экономика с применением Mathcad и Excel В книге дано систематическое изложение основных базовых математических методов, применяемых в экономике. Приведены общая методология использования мат... Принципы проектирования и конструирования математических моделей гидрологических процессов и явлений. Создание сложной моделирующей системы. Понятие об имитационном моделировании Характеристика основных принципов создания математических моделей гидрологических процессов. Описание процессов дивергенции, трансформации и конверген... Применение экономико-математических методов для решения экономических задач Компьютерное моделирование биотехнологических процессов и систем Рассматриваются различные аспекты компьютерного моделирования биотехнологических процессов и систем – от постановки задач и разработки математических...