Линеаризация нелинейных зависимостей. Специальный вид линейной зависимости. Элементы теории корреляции. Вычисление прогнозных значений величины содержания ионов Cl- по сформированным уравнениям. Решение задачи с помощью средств MS Excel и MathCad.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Размещено на

КУРСОВАЯ РАБОТА

Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов

Задание

Требуется исследовать эмпирическую зависимость содержания ионов Cl ^- (с, мг-экв/л) от плотности воды (с, кг/мі) поступающей в скважину вместе с нефтью. Используя МНК, построить и исследовать «специализированное» уравнение. Используя МНК, построить и исследовать линейное уравнение общего вида

Вычислить по этим уравнениям прогнозные значения величины содержания ионов Cl^-, если плотность пластовой воды равна с_{прогнозн}. В качестве с_{прогнозн} взять величину, равную с_max-0,1 (с_max - с_min), где с_max и с_min - максимальное и минимальное значения плотности с в таблице исходных данных.

Введение

Целью курсовой работы является углубление знаний по информатике, развитие и закрепление навыков работы с табличным процессором МS Ехсе1, и применение их для решения задач из предметной области, связанной с исследованиями. В задании формулируются условия задачи, исходные данные, форма выдачи результатов, указываются основные математические зависимости для решения задачи. В соответствии с методом решения задачи разрабатывается алгоритм решения. Поставленные задачи анализа данных можно решить с помощью инструментария MS Excel. Контрольный расчёт в среде МаthCAD позволяет убедиться в правильности решения задач.

Основными этапами курсовой работы являются:

1) формализация поставленной задачи;

2) выбор, обоснование и изложение метода решения задачи;

3) решение задачи с помощью инструментария;

4) оформление пояснительной записки и защита отчёта.

Оформление пояснительной записки должно начинаться с

титульного листа, содержать теоретические сведения и описание средств решения задач, постановку задачи.

В процессе выполнения работы студент должен продемонстрировать навыки самостоятельной работы с литературой, список которой должен быть обязательно включён в пояснительную записку.

Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов

Часто при анализе фактических результатов измерений или экспериментов возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость между этими фактическими величинами.

Для нахождения аналитической взаимосвязи между двумя величинами х и у производят ряд наблюдений; в результате получается таблица значений:

Таблица 1

x	x1	x2	…	xi	…	xn
y	y1	y2	…	yi	…	yn

Поскольку табличные результаты получаются как итог каких-либо экспериментов, эти значения называются эмпирическими или опытными или экспериментальными значениями. Таким образом, исходными данными являются два одномерных массива одинаковой длины, содержащие эмпирические данные.

Если между величинами х и у существует некоторая функциональная зависимость, но её аналитический вид неизвестен, то возникает практическая задача - найти эмпирическую формулу

y^T =F (x, a₁, a₂,…, a_m), (2)

где а₁, а₂,…, а_т - коэффициенты. Вид функции и значения коэффициентов а₁, а₂,…, а_т подбираются таким образом, чтобы значения = F(x_i, a_l, a₂,…, a_m), вычисленные по эмпирической формуле при различных значениях x_i, как можно меньше отличались бы от опытных значений у_i.

Нахождение аналитической зависимости между эмпирическими величинами называется аппроксимацией функции, заданной таблично.

Удачный выбор эмпирической формулы в значительной мере зависит от опыта и знаний исследователя в предметной области, используя которые он может правильно указать класс функций.

Для аппроксимации вначале определяют класс функций, из которых выбирается аппроксимирующая функция F (x, a_l, a₁,…, a_m), и далее отыскивают наилучшие значения коэффициентов.

Чаще всего для аппроксимации используют метод наименьших квадратов (МНК). Поясним геометрический смысл этого метода. Каждая пара чисел (x_i, y_i) из исходной таблицы определяет точку М_i на плоскости XOY. Используя формулу (2) с различными значениями коэффициентов а₁, а₂,…, а_т, можно построить множество кривых, которые будут являться графиками теоретических функций F (x, a_l, a₂,…, a_m). Величина = F(x_i, a₁, а₂,…, а_т) называется теоретическим значением функции в точке х_i. Разность (- у_i) называется отклонением или остатком и представляет собой расстояние по вертикали от точки М, до графика эмпирической функции.

Рис. 1. Геометрический смысл метода наименьших квадратов

Согласно методу наименьших квадратов, наилучшими коэффициентами a1, a2,…, a_m считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденных теоретических значений функции от заданных эмпирических значений будет минимальной. Следовательно, задача состоит в определении коэффициентов а₁, а₂,…, а_т таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей.

S(a_l, a₂,…, a_m) = (3)

Построение эмпирических формул состоит из двух этапов: выяснение общего вида этой формулы и определение её наилучших параметров.

Если из теоретических соображений характер зависимости между величинами х и у неизвестен, то вид эмпирической зависимости может быть произвольным. Предпочтение отдаётся простым формулам, обладающим хорошей точностью.

Большое значение имеет изображение полученных экспериментальных данных в декартовых или в специальных системах координат. По положению точек можно примерно угадать вид зависимости путём установления подобия между построенным графиком и образцами известных кривых.

Для того, чтобы найти набор коэффициентов а₁, а₂,…, а_т, при которых достигается минимум функции S(a₁, a₂,…, a_m), определяемой формулой (3), используем необходимое условие экстремума функции нескольких переменных - равенство нулю частных производных. В результате получим нормальную систему дли определения коэффициентов a₁, а₂,…, а_т:

(4)

Таким образом, нахождение коэффициентов a₁, а₂,…, а_т сводится к решению системы (4). Эта система упрощается, если эмпирическая формула (2) линейна относительно параметров a₁, а₂,…, а_т, тогда система (4) будет линейной.