Парная регрессия

Определение наличия тенденции по заданным значениям прибыли фирмы. Построение графика линейной парной регрессии, нанесение полученных результатов на диаграмму рассеяния. Прогнозирование величины прибыли с помощью построенной регрессионной модели.
Краткое сожержание материала:

Контрольная работа

по теме: "Парная линейная регрессия"

Данные, характеризующие прибыль торговой компании "Все для себя" за первые 10 месяцев 2004 года (в тыс. руб.), даны в следующей таблице:

январь	февраль	март	апрель	май	июнь	июль	август	сентябрь	октябрь
367	418	412	470	485	470	525	568	538	558

В контрольной работе с использованием табличного процессора Ехсеl необходимо выполнить следующие вычисления и построения:

1. Построить диаграмму рассеяния.

2. Убедится в наличии тенденции (тренда) в заданных значениях прибыли фирмы и возможности принятия гипотезы о линейном тренде.

3. Построить линейную парную регрессию (регрессию вида ). Вычисление коэффициентов b₀, b₁ выполнить методом наименьших квадратов.

4. Нанести график регрессии на диаграмму рассеяния.

5. Вычислить значения статистики F и коэффициента детерминации R². Проверить гипотезу о значимости построенного уравнения регрессии.

6. Вычислить выборочный коэффициент корреляции и проверить гипотезу о ненулевом его значении.

7. Вычислить оценку дисперсии случайной составляющей эконометрической модели.

8. Проверить гипотезы о значимости вычисленных коэффициентов b₀, b₁ .

9. Построить доверительные интервалы для коэффициентов b₀, b₁.

10. Построить доверительные интервалы для дисперсии случайной составляющей эконометрической модели.

11. Построить доверительную область для условного математического ожидания М()( по оси Х откладывать месяцы январь - декабрь). Нанести границы этой области на диаграмму рассеяния.

12. С помощью линейной парной регрессии сделать прогноз величины прибыли на ноябрь и декабрь месяц и нанести эти значения на диаграмму рассеяния. Сопоставить эти значения с границами доверительной области для условного математического ожидания М() и сделать вывод о точности прогнозирования с помощью построенной регрессионной модели.

Решение.

Используя исходные данные, строим диаграмму рассеяния:

На основе анализа диаграммы рассеяния убеждаемся в наличии тенденции увеличения прибыли фирмы и выдвигаем гипотезу о линейном тренде.

Полагаем, что связь между факторами Х и У может быть описана линейной функцией . Решение задачи нахождения коэффициентов b₀, b₁ основывается на применении метода наименьших квадратов и сводится к решению системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными b₀, b₁ :

b₀ n + b₁ Уx_i = Уy_i,

b₀ Уx_i + b₁ Уx_i² = Уx_iy_i.

Составляем вспомогательную таблицу:

№	х	y	x2	ху	y2
1	1	367	1	367	134689
2	2	418	4	836	174724
3	3	412	9	1236	169744
4	4	470	16	1880	220900
5	5	485	25	2425	235225
6	6	470	36	2820	220900
7	7	525	49	3675	275625
8	8	568	64	4544	322624
9	9	538	81	4842	289444
10	10	558	100	5580	311364
сумма	55	4811	385	28205	2355239

Для нашей задачи система имеет вид:

Решение этой системы можно получить по правилу Крамера:

Получаем:

, .

Таким образом, искомое уравнение регрессии имеет вид:

y =364,8 + 21,145x.

4. Нанесем график регрессии на диаграмму рассеяния.

5. Вычислим значения статистики F и коэффициента детерминации R². Коэффициент детерминации рассчитаем по формуле R² = r_xy² = 0,952² = 0,907. Проверим адекватность модели (уравнения регрессии) в целом с помощью F-критерия. Рассчитаем значение статистики F через коэффициент детерминации R² по формуле:

Получаем: . Зададим уровень значимости б =0,01, по таблице находим квантиль распределения Фишера F_0,01;1;8 = 11,26, где 1 - число степеней свободы.

F_факт. > F_0,01;1;8, т.к. 78,098 > 11,26.

Следовательно, делаем вывод о значимости уравнения регрессии при 99% - м уровне значимости.

6. Вычислим выборочный коэффициент корреляции и проверим гипотезу о ненулевом его значении.

Рассчитаем выборочный коэффициент корреляции по формуле:



Получаем:

Проверка существенности отличия коэффициента корреляции от нуля проводится по схеме: если , то гипотеза о существенном отличии коэффициента корреляции от нуля принимается, в противном случае отвергается.

Здесь t_1-б/2,n-2 - квантиль распределения Стьюдента, б - уровень значимости или уровень доверия, n - число наблюдений, (n-2) - число степеней свободы. Значение б задается. Примем б = 0,05, тогда t_1-б/2,n-2 = t_0,975,8 = 2,37. Получаем:

.

Следовательно, коэффициент корреляции существенно отличается от нуля и существует сильная линейная связь между х и у.

С использованием табличного процессора Ехсеl проведем регрессионную статистику:

Вывод итогов:

Регрессионная статистика
Множественный R	0,952409
R-кв... Другие файлы: Регрессия и корреляция Парная регрессия и корреляция в эконометрических исследованиях, методика и основные этапы ее построения, анализ полученных результатов и их интерпрета... Изучение гетероскедастичности. Линейная регрессия Парная линейная регрессия. Полный регрессионный анализ. Коэффициент корреляции и теснота линейной связи. Стандартная ошибка регрессии. Значимость урав... Особенности эконометрического метода Измерения в эконометрике. Парная регрессия и корреляция эконометрических исследований. Оценка существования параметров линейной регрессии и корреляции... Основы эконометрики Взаимосвязи экономических переменных. Понятие эконометрической модели. Коэффициент корреляции и его свойства. Линейная парная регрессия. Метод наимень... Практическая статистика Применение различных способов представления и обработки статистических данных. Пространственные статистические выборки. Парная регрессия и корреляция....