Основные задачи математического моделирования

Общая постановка задачи линейного программирования (ЛП). Приведение задачи ЛП к стандартной форме. Теоремы двойственности и их использование в задачах ЛП. Транспортная задача и её решение методом потенциалов. Интерполирование табличных функций.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФИЛИАЛ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

в г. Нижнем Тагиле

Кафедра: ОНД

Курсовая работа по дисциплине:

Математические модели вагонов и процессов

Тема: Основные задачи математического моделирования

Проверил:

преподаватель

К.В.Курмаева

Выполнил:

студент 3 курса з/о

шифр 10 - В - 301

Н.С.Русаков

Нижний Тагил

2013 г.



Содержание

Введение

1. Общая постановка задачи линейного программирования (ЛП)

2. Приведение задачи линейного программирования к стандартной форме

3. Примеры экономических задач, приводящихся к задачам ЛП

3.1 Графический метод решение задач ЛП

3.2 Теоремы двойственности и их использование в задачах ЛП

3.3 Транспортная задача и её решение методом потенциалов

4. Метод аналитического представления экспериментальных данных

4.1 Интерполирование табличных функций

4.2 Эмпирические формулы табличных функций

5. Приложение

Заключение

Литература



Введение

Математическое моделирование - процесс разработки, отладки, оперирования математическими моделями с целью получения данных о свойствах объекта проектирования. В свою очередь математические модели - совокупность математических выражений определяющих свойства объекта проектирования: универсальность, экономичность, адекватность, точность.

Наиболее эффективное применение вычислительная техника находит при проведении трудоемких расчетов в научных исследованиях. При решении задачи основная роль принадлежит человеку, а машина выполняет роль по разработанной программе. Основные этапы математического проектирования: постановка задачи, которая определяет условия и конечную цель решения; построение математической модели - формулировка задачи с помощью формул и алгебраических (физических) законов; разработка численного метода - позволяет свести задачу к некоторому вычислительному алгоритму; разработка алгоритма и построение блок-схемы; анализ результатов. Процесс решения задачи записывается в виде последовательности элементарных арифметических и логических операций, приводящих к конечному результату.

Основное требование применяемое к математической модели - она должна достаточно точно отражать характерные черты явления, вместе с тем должна обладать сравнительно простой доступностью исследования.

Решения поставленной задачи производятся с помощью численных методов. Для решения математических задач используются следующие основные группы методов: графические - позволяют оценить порядок искомой величины - решение находится путем геометрических построений; аналитические - решение задачи удается выразить с помощью формул; численные - основной инструмент для решения сложных математических задач, позволяют свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами.

1. Общая постановка задачи линейного программирования (ЛП)

Задача линейного программирования (ЛП) состоит в нахождении минимума (или максимума) линейной функции при линейных ограничениях.

Общая форма задачи имеет вид: найти при условиях

Где

Здесь и далее нам удобнее считать с и а_і вектор - строками, а x и b= (b₁,...,b_m) ^T- вектор столбцами.

Наряду с общей формой широко используются также каноническая и стандартная формы. Как в канонической, так и в стандартной форме

т.е. все переменные в любом допустимом решении задачи должны принимать неотрицательные значения (такие переменные принято называть неотрицательные в отличие от так называемых свободных переменных, на область значений которых подобное ограничение не накладывается). Отличие же между этими формами состоит в том, что в одном случае I₂ = 0, а в другом - I₁ = 0.

Задача ЛП в канонической форме:



Размещено на

Задача ЛП в стандартной форме:

В обоих случаях А есть матрица размерности m x n, i-я строка которой совпадает с вектором а_i.

Задача ЛП в общей форме сводится (в определенном смысле) к задаче ЛП в канонической (стандартной) форме. Под этим понимается существование общего способа построения по исходной задаче (в общей форме) новой задачи ЛП (в нужной нам форме), любое оптимальное решение которой "легко" преобразуется в оптимальное решение исходной задачи и наоборот. (Фактически, связь между этими задачами оказывается еще более тесной). Тем самым мы получаем возможность, не теряя общности, заниматься изучением задач ЛП, представленных либо в канонической, либо в стандартной форме. Ввиду этого наши дальнейшие рассмотрения задач ЛП будут посвящены, главным образом, задачам в канонической форме.



2. Приведение задачи линейного программирования к стандартной форме

Любая задача линейного программирования приводится к стандартной (канонической) форме основной задачи линейного программирования, которая формулируется следующим образом: найти неотрицательные значения переменных X₁, X₂, X_n, удовлетворяющих ограничениям в виде равенств:

A₁₁ X₁ + A₁₂ X₂ + … + A_1n X_n = B₁;

A₂₁ X₁ + A₂₂ X₂ + … + A_2n X_n = B₂;

……………………………………

A_m1 X₁ + A_m2 X₂ + … + A_mn X_n = B_m;

X_j ? 0, j=1,…,n

и обращающих в максимум линейную функцию этих переменных:

E = C₁ X₁ + C₂ X₂ + … + C_n X_n Ю max

При этом также требуется, чтобы правые части равенств были неотрицательны, т.е. должны соблюдаться условия:

Bj ? 0, j=1,…,n

Приведение к стандартной форме необходимо, так как большинство методов решения задач линейного программирования разработано именно для стандартной формы. Для приведения к стандартной форме задачи линейного программирования может потребоваться выполнить следующие действия:

перейти от минимизации целевой функции к ее максимизации;

изменить знаки правых частей ограничений;

перейти от ограничений-неравенств к равенствам;

избавиться от переменных, не имеющих ограничений на знак.



3. Примеры экономических задач, приводящихся к задачам ЛП

Задача о ресурсах, вариант №4

Предприятие выпускает два вида продукции А₁ и А₂, используя при этом три вида сырья S₁, S₂, S₃. Известны запасы сырья: S₁ = 40ab +12 a² (У.Е.) , S₂ = 56ab (У.Е.), S₃ = 46ab +20 b² (У.Е.). Расход сырья вида S₁ на производство единицы продукции А₁ составляет 2b+a (У.Е.); на А₂ составляет 2а (У.Е.). Расход сырья вида S₂ на производство единицы продукции А₁ составляет 2b (У.Е.); на А₂ составляет 4а (У.Е.). Расход сырья вида S₃ на производство единицы продукции А₁ составляет 2b (У.Е.); на А₂ составляет 2b+3a (У.Е.). Доход от реализации единицы продукции А₁ составляет 3b (У.Е.), единицы продукции А₂ составляет 2b+a (У.Е.). При a=3; b=t+4; t= № варианта.

Составить такой план производства продукции, при котором доход будет максимальным.

3.1 Графический метод решение задач ЛП

Решение

Обозначим x₁ - количество продукции А₁, необходимой изготовить, x₂ - количество продукции А₂, необходимой изготовить, a=3, b=4+4=8.

Составим таблицу:

Ресурсы	А1	А2	Объем ресурсов
S1	2b+a=19	2а=6	40ab +12 a2=1068
S2	2b=16	4а=12	56ab=1344
S3	2b=16	2b+3a=25	46ab +20 b2=2384
Прибыль	3b=24	2b+a=19

На основе данной таблицы составим систему и цел...