Применение теории игр для обоснования и принятия решений в условиях неопределенности. Цель изучения систем массового обслуживания, их элементы и виды. Сетевые методы планирования работ и проектов. Задачи динамического и стохастического программирования.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

ФГОУ ВПО Оренбургский государственный аграрный университет

Экономический факультет

Кафедра организации производства и моделирования экономических систем

Курсовая работа

Тема: Обзор экономико-математических методов. Применение стохастического программирования для решения экономических задач

Оренбург 2009

Содержание

Введение

1. Теоретические вопросы

1.1 Теория игр

1.2 Теория массового обслуживания

1.3 Динамическое программирование

1.4 Сетевое планирование и управление

1.5 Стохастическое программирование

2. Практическое применение стохастического программирования

Выводы по результатам работы

Список использованной литературы

Введение

Развитие современного общества характеризуется повышением технического уровня, усложнением организационной структуры производства, углублением общественного разделения труда, предъявлением высоких требований к методам планирования и хозяйственного руководства. В этих условиях только научный подход к руководству экономической жизнью общества позволит обеспечить высокие темпы развития народного хозяйства.

Одним из необходимых условий дальнейшего развития экономической науки является применение точных методов количественного анализа, широкое использование математики. В настоящее время новейшие достижения математики и современной вычислительной техники находят все более широкое применение в экономических исследованиях и планировании.

Этому способствует развитие таких разделов математики, как математическое программирование, теория игр, теория массового обслуживания, а также бурное развитие быстродействующей электронно-вычислительной техники. Уже накоплен достаточный опыт постановки и решения экономических задач с помощью математических методов. Особенно успешно развиваются методы оптимального планирования, которые и составляют сущность математического программирования.

Целью работы является изучение теоретических основ математических методов моделирования, а именно рассмотреть постановку задачи, основные понятия теорий и методы их расчета, рассмотреть пример решения конкретной задачи.

1. Теоретические вопросы

1.1 Теория игр

Одна из задач теории оптимальных решений - принятие решения в условиях неопределенности. Для обоснования решений разработаны специальные математические методы, которые рассматриваются в теории игр. Теория игр принадлежит к наиболее молодым математическим дисциплинам. Ее возникновение относится к 1944 г., когда вышла в свет монография Неймана и Моргенштерна «Теория игр и экономического поведения». В дальнейшем теория игр превратилась самостоятельное математическое направление, имеющее практическое приложение.

Теория игр - это теория математических моделей, интересы участников которых различны, причем они достигают своей цели различными путями. Столкновение противоположных интересов участников приводит к возникновению конфликтных ситуаций. Необходимость анализировать такие ситуации, в свою очередь, привела к возникновению теории игр, задачей которой является выработка рекомендаций по рациональному образу действия участников конфликта.

Чтобы исключить трудности, возникающие при анализе практических конфликтных ситуаций в результате наличия многих несущественных факторов, строится упрощенная модель ситуации. Такая модель называется игрой. Конфликтная ситуация в игровой моде развивается по определенным правилам. Естественной базой для анализа конфликтных ситуаций служат широко распространенные игры - шахматы, шашки, карточные игры. Поэтому теории игр свойственна следующая терминология: «игроки» (стороны, участвующие в конфликте), «выигрыш» (исход конфликта) и т.д.

Неопределенность результата игры вызывается различными причинами, которые можно разбить на три группы:

1. Особенности правил игры вызывают такое разнообразие в ее развитии, что предсказать результат игры заранее невозможно. Источники неопределенности такого вида называются комбинаторными, а соответствующие игры - также комбинаторными.

2. Другим источником неопределенности является влияние случайных факторов. Игры, в которых исход оказывается неопределенным исключительно в результате случайных причин, называются азартными (игры в кости, игра, состоящая в отгадывании, какой стороной выпадет монета; рулетка).

3. Третий источник неопределенности состоит в отсутствии информации о действиях противника, о его стратегии. Игры такого рода называются стратегическими.

Рассмотрим эти игры более подробно. В игре могут сталкиваться интересы двух или более противников. В первом случае игра называется парной, во втором - множественной. Так как наибольшее практическое значение имеют парные игры, то рассмотрим только их. Участников игры обозначим через А и В. При этом под игрой условимся понимать некоторую последовательность действий (ходов) игроков А и В, которая осуществляется в соответствии с четко сформулированными правилами.

Правила определяют возможные варианты действий игроков, объем информации каждой стороны о действиях другой, результат игры, к которому приводит соответствующая последовательность ходов. В большинстве игр предполагается, что интересу участников поддаются количественному описанию, т.е. результат игры (выигрыш) определяется некоторым числом. Ходом в теории игр называется выбор одного из предположенных правилами игры действий и его осуществление.

Стратегией игрока называется план, по которому он совершает выбор в любой возможной ситуации и при любой возможной фактической информации. Естественно, что игрок принимает решения по ходу игры. Однако теоретически можно предположить, что все эти решения приняты игроком заранее. Тогда совокупность этих решений составляет его стратегию. В зависимости от числа возможных стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. Задачей теории игр является выработка рекомендаций для игроков, т. е. определение для них оптимальной стратегии. Оптимальной называется стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средней выигрыш.

Простейший вид стратегической игры - игра двух лиц с нулевой суммой (сумма выигрышей сторон равна нулю). Игра состоит из двух ходов: игрок А выбирает одну из своих возможных стратегий A_i (i = 1, 2,.... m), а игрок В выбирает стратегию В_j (j = 1, 2,..., n), причем каждый выбор производится при полном незнании выбору другого игрока.

Цель игрока А - максимизировать функцию ц (A_i, B_j), в свою очередь, цель игрока В - минимизировать эту же функцию. Каждый из игроков может выбирать одну из переменных, от которых зависит значение функции. Если игрок А выбирает некоторую из стратегий Ai, то это само по себе не может влиять да значение функции ц (A_i, B_j).

Влияние Ai, на величину значения ц (A_i, B_j) является неопределенным; определенность имеет место только после выбора, исходя из принципа минимизации ц (A_i, B_j), другим игроком переменной B_j. При этом B_j определяется другим игроком. Пусть ц (A_i, B_j)= a_ij. Составим матрицу А:

Строки матрицы соответствуют стратегиям A_i, столбцы - стратегиям B_j. Матрица А называется платежной или матрицей игры. Элемент a_ij матрицы - выигрыш игрока А, если он выбрал стратегию A_i, а игрок В выбрал стратегию B_j.

Пусть игрок А выбирает некоторую стратегию A_i ; тогда в наихудшем случае (например, если выбор станет известным игроку В) он получит выигрыш, равный min a_ij. Предвидя такую возможность, игрок А должен выбрать такую стратегию, чтобы максимизировать свой минимальный выигрыш a :

а = max min a_ij

i j

Величина а - гарантированный выигрыш игрока А - называется нижней ценой игры. Стратегия А_i0, обеспечивающая получение а, называется максиминной.

Игрок В, выбирая стратегию, исходит из следующего принципа: при выборе некоторой стратегии В_j его проигрыш не превысит максимального из значений элементов j-го столбца матрицы, т.е. меньше или равен max a_ij

Рассматривая множество max a_ij для различных значений j, игрок В, естественно выберет такое значение j, при котором его максимальный проигрыш в минимизируется:

в = min miax a_ij

i j

Величина в называется верхней ценой игры, а соответствующая выигрышу в стратегия В_j0 - минимаксной.

Фактический выигрыш игрока А при разумных действиях партнеров ограничен нижней и верхней ценой игры. Если же эти выражения равны, т.е.