Визначення оптимального плану графічним та симплексним методом. Побудова економетричної моделі залежності між витратами обігу та вантажообігом. Розрахунок детермінаціі, кореляції, еластичності. Виявлення мультиколінеарності між заданими факторами.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Задача 1. Побудувати математичну модель економічної задачі

Державне сільськогосподарське підприємство відвело три земельних масиви площею 7, 8, 9 тис. га відповідно під вирощування буряку, моркви і картоплі. Середню врожайність культур на кожному масиві подано в таблиці:

Таблиця 1

Культура	Земельні масиви
	перший	другий	третій
Буряк, ц/га	15	20	25
Морква, ц/га	12	18	24
Картопля, ц/га	32	36	48

За 1 ц буряку господарство одержує прибуток 20 у.о., за 1 ц моркви - 25 у.о. і за 1 ц картоплі - 15 у.о.

Яку площу слід відвести під кожну з культур і на якому масиві, щоб одержати максимальний прибуток, коли за планом передбачено зібрати не менше як 80000 ц буряку, 50000 ц моркви і 70000 ц картоплі.

Розв'язання:

Нехай - план розподілу посівних площ, тобто

Таблиця 2

	1 масив ( 7 тис. га)	2 масив ( 8 тис. га)	3 масив ( 9 тис. га)
Буряк	х11	х12	х13
Морква	х21	х22	х23
Картопля	х31	х32	х33

Тоді обмеженість площ полів дає систему нерівностей:



Враховуючи задану врожайність, буряку буде вирощено () ц, моркви - () ц, картоплі - () ц.

За планом передбачено зібрати не менше як 80000 ц буряку, 50000 ц моркви і 70000 ц картоплі, тобто:

? 80000

? 50000

? 70000

Площа не може бути від'ємною, тому: , , .

За 1 ц буряку господарство одержує прибуток 20 у.о., за 1 ц моркви - 25 у.о. і за 1 ц картоплі - 15 у.о. Тоді прибуток від реалізації вирощених овочів (цільова функція) запишеться у вигляді:

Прибуток необхідно максимізувати, тобто .

Одержуємо задачу лінійного програмування в стандартній формі:



? 80000

? 50000

? 70000

, , .

Задача 2. Графічним методом визначити оптимальний план задачі лінійного програмування

2 х₁ + х₂ ? 10

х₁ + 2 х₂ ? 2

- х₁ + 3 х₂ ? 3 Z = 4 х₁ + 3 х₂ > mах (mіn)

х₁ ? 0, х₂ ? 0

Розв'язання:

Спочатку побудуємо многокутник розв'язків; що визначається системою обмежень.

Для цього побудуємо граничні прямі, рівняння яких отримуємо, змінив знаки нерівностей на знак “=”. Потім визначаємо півплощину, яка відповідає кожній нерівності. Для цього в нерівність підставляємо координати будь-якої точки, наприклад, початку координат (х₁=0; х₂=0). Якщо отримаємо вірну нерівність, то шукана півплощина містить цю точку, інакше - не містить. Потрібну півплощину позначаємо стрілками. Перетин даних півплощин, який лежить в першій чверті (х₁ ? 0; х₂ ? 0) і дає шуканий многокутник розв'язків.

Будуємо граничні прямі і визначаємо потрібні півплощини:

(1)

2 х₁ + х₂ = 10 - пряма проходить через точки (2; 6) і (5; 0)

2 х₁ + х₂ < 10 => 0 + 0 = 0 < 10 вірно, тобто шукана півплощина містить точку (0; 0), і тому лежить нижче від прямої (1).

(2)

х₁ + 2 х₂ = 2 - пряма проходить через точки (0; 1) і (2; 0)

х₁ + 2 х₂ > 2 => 0 + 0 = 0 > 2, не вірно, півплощина лежить вище від (2).

(3)

- х₁ + 3 х₂ = 3 - пряма проходить через точки (0; 1) і (3; 2)

- х₁ + 3 х₂ < 3 => 0 + 0 = 0 3, вірно, півплощина лежить нижче від (3).

Перетин цих півплощин в першій чверті - це чотирикутник АВСD.

Далі будуємо вектор - градієнт N, який складається з коефіцієнтів цільової функції Z = 4 х₁ + 3 х₂, тобто N = (4; 3). Цей вектор визначає напрям зросту функції Z , тобто її значення збільшується в напрямі вектора N і зменьшується в протилежному напрямі. Потім будуємо пряму рівня (позначимо її буквою L) перпендикулярно до вектора N в початку координат. Вона має рівняння Z = 0.

Починаємо зміщувати (пересувати) пряму L паралельно самій собі в напрямі вектора N. Перша зустрінута вершина многокутника - точка А(0; 1) - буде точкою mіn. Остання зустрінута вершина многокутника - точка В - буде точкою mах.

Таким чином, при х₁ = 0; х₂ = 1 функція Z досягає свого мінімального значення:

Z_mіn = 4 х₁ + 3 х₂ = 4 · 0 + 3 · 1 = 3

Знаходимо координати точки В, розв'язуючи сумісно рівняння прямих, на перетину яких вона лежить, тобто рівняння (1) і (3) :

Таким чином, при х₁ = 27/7 ; х₂ = 16/7 функція Z досягає свого максимального значення:

Z_mах = 4 х₁ + 3 х₂ = 4 · 27/7 + 3 · 16/7 = 156/7 ? 22,3.

Відповідь: Z_mіn = 3 при х₁ = 0; х₂ = 1;

Z_mах = 156/7 при х₁ = 27/7; х₂ = 16/7.

Задача 3. Розв'язати задачу лінійного програмування симплексним методом

Z = -х₁ - 2 х₂ + 2 х₃ (mіn)

2 х₁ + х₂ + х₃ = 10

х₁ - х₂ ? 2

х_j ? 0 j =1,2,3.

Розв'язання:

Приводимо задачу до каноничного вигляду: додаємо до лівої частини нерівності нову додатну змінну х₄ ? 0.

Z = -х₁ - 2 х₂ + 2 х₃ > mіn

2 х₁ + х₂ + х₃ = 10

х₁ - х₂ + х₄ = 2

х_j ? 0 j =1,2,3,4.

Система обмежень містить одиничну матрицю, тому для розв'язку використовуємо звичайний симплекс-метод.

Векторна форма запису даної задачі така: Z =C*х > max

х₁A₁ +х₂A₂ + х₃A₃ + х₄A₄ = A₀, х ? 0

Тут С = (С₁, C₂, C₃, C₄) = (-1, -2, 2, 0) - коефіцієнти цільової функції Z.

A₀ = ; A₁ = ; A₂ = ; A₃ = ; A₄ = ;

Ця задача має опорний план X₁=(0, 0, 10, 2), визначаємий системою двох одиничних векторів A₃, A₄.

Складаємо першу симплекс - таблицю:

Таблиця 1

і	Баз	Сбаз	A0	-1	-2	2	0
				A1	A2	A3	A4
1	A3	2	10	2	1	1	0
2	A4	0 Другие файлы: Побудова та реалізація економіко–математичної моделі Загальна модель задачі математичного програмування, задача лінійного програмування та особливості симплекс–методу для розв’язання задач лінійного прог... Методика економіко-математичного програмування Математична модель задачі лінійного програмування, її вирішення за допомогою симплекс-методу. Побудова екстремумів функцій в області, визначеній нерів... Задача лінійного програмування та методи її розв'язування Загальна економіко-математична модель задачі лінійного програмування. Основні форми запису задач. Оптимальний та допустимий розв'язок. Геометрична інт... Математичне програмування Математична модель задачі лінійного програмування та її розв’язок симплекс-методом. Опорний план математичної моделі транспортної задачі. Оптимальний... Математичне програмування Норми затрат ресурсів. Математична модель задачі. Рішення прямої задачі лінійного програмування симплексним методом. Основний алгоритм симплекс-методу...