Лагові моделі. Метод Койка, Ш. Альмона

Альтернативою підходу Койка до дистрибутивно-лагових моделей є поліноміальна дистрибутивно-лагова модель Ш. Альмона. Моделі виявилися дуже корисними в емпіричній економіці, тому що можуть перетворювати моделі на динамічні, за допомогою фактору часу.
Краткое сожержание материала:

САМОСТІЙНА РОБОТА

з дисципліни «Економетрія»

на тему: «Лагові моделі. Метод Койка, Ш. Альмона»

2006

У регресійному аналізі , якщо регресійна модель включає не лише поточні, а й попередні (лагові, або затримані) значення незалежних змінних (х), вона має назву дистрибутивно-лагова модель. Ця модель має вигляд:

. (1.1)

. (1.2)

В економіці рідко трапляється миттєва залежність змінної y (залежної змінної) від іншої незалежної змінної (змінних) х. Дуже часто значення у змінюється через невеликий проміжок часу після зміни значення х. Такий проміжок часу називається часовим лагом.

Оцінка параметрів дистрибутивно-лагових моделей

Якщо припустити, що дистрибутивно-лагові моделі відіграють важливу роль в економіці, як можна оцінити параметри такої моделі? Нехай ми маємо таку дистрибутивно-лагову модель з однією пояснювальною змінною:

, (1.3)

Де ми не визначаємо довжину лагу. Така модель має назву нескінченна (лагова) модель, тоді як модель типу (1.2) називається скінченною дистрибутивно-лаговою моделлю, оскільки в ній визначена довжина лагу k. Надалі будемо використовувати модель (1.3) як загальний випадок. Оцінити невідомі параметри ? і ?_і в моделі (1.3) можна за двома способами: послідовного оцінювання та апріорного оцінювання, припускаючи, що ?_і мають певну систематичну закономірність.

Підхід Койка до дистрибутивно-лагових моделей

Койк запропонував досить цікавий метод оцінки дистрибутивно-лагових моделей. Припустимо, ми починаємо з дистрибутивно-лагової моделі з невизначеним лaгом (). Припускаючи, що ?_і мають той самий знак, Койк припустив також, що вони змінюються в геометричній прогресії:

k = 0, 1, …, (1.4)

де ? такі, що 0 < ? < 1 - темп зменшення дистрибутивного лагу, а (1- ?) - швидкість пристосування. Співвідношення (1.4) показує, що кожний наступний коефіцієнт ? менший, ніж попередній (оскільки ?< 1), тобто з кожним наступним кроком у минуле вплив лaгу на у_t поступово зменшується, що є досить імовірним припущенням. Значення лaгового коефіцієнта ?_к -залежить, крім загального ?₀ також і від ?. Чим ближче значення ? до 1, тим повільніший темп зменшення ?_к, а чим ближче він до 0, тим швидше спадає ?_к . У попередньому випадку віддалені в минулому значення х досить сильно впливали на у_t, тоді як у нашому випадку їхній вплив на у_t швидко зменшується. Це добре видно в табл. 1.1.

Таблиця 1.1

?	?о	?1	?2	?3	?4	?5		?10
0.75	?о	0.75?о	0.56 ?о	0.42 ?о	0.32 ?о	0.24 ?о	...	0.06 ?о
0.25	?о	0.25 ?о	0.06 ?о	0.02 ?о	0.004 ?о	0.001 ?о	…	0

Слід зазначити, що метод Койка має такі переваги:

- припускаючи, що ? можуть бути від'ємними, Койк абстрагувався від зміни знака коефіцієнта при ?_і;

- завдяки тому, що ?<1 віддалені за часом, значення ?_і стали менш впливовими, ніж поточні;

- сума ?_і, яка складає довгостроковий мультиплікатор, є скінченною, тобто

. (1.5)

як результат (1.4), модель з кінцевим лагом (1.5) можна записати таким чином:

. (1.6)

Як бачимо, модель (1.6) також незручна для оцінки, оскільки залишається дуже велика (фактично нескінченна) кількість оцінюваних параметрів, крім того, параметр ? входить до моделі в нелінійній формі: тобто метод лінійної (за параметрами) регресії не можна застосувати до цієї моделі. Але Койк пропонує модифікований метод, який полягає в тому, що в модель (1.6) вводиться затримка на один період. Виходячи з цього, модель записується таким чином:

. (1.7)

Далі помножуємо (1.7) на ? і отримаємо:

. (1.8)

Віднявши (1.8) від (1.6), маємо:

, (1.9)

або

, (1.10)

де . Ця процедура відома як перетворення Койка. Порівнюючи (1.10) з (1.3), бачимо надзвичайне спрощення моделі. Якщо раніше нам треба було оцінювати параметр ?? та нескінченну кількість параметрів ?_і, тепер достатньо оцінити лише три змінних: ?,?_о і ?, тобто немає причин очікувати мультиколінеарність. Фактично ми позбулись мультиколінеарності заміною х_t-1, х_t-2 … на одну змінну, тобто у_t-1.

Зазначимо деякі особливості трансформації Койка.

1. Трансформація Койка переводить дистрибутивно-лагову модель в авторегресивну, оскільки серед незалежних змінних залишається у_t-1.

2. Поява у_t-1 може спричинити ряд статистичних проблем: у_t-1, як і у_t, - стохастична; це означає, що в модель ми вводимо стохастичну змінну.

3. У початковій моделі (1.3) помилка дорівнювала ?_t, а в перетвореній . Тепер статистичні властивості ?_t залежать від статистичних властивостей ?_t.

4. Наявність лагового значення у порушує одне з припущень d-тесту Дарбіна-Уотсона. Отже, нам потрібно розробити альтернативу для тестування серійної кореляції при лаговому у. Цією альтернативою є h-тест Дарбіна.

Підхід Ш. Альмона до дистрибутивно-лагових моделей: поліноміальний лаг Альмона

Хоча дистрибутивно-лагова модель Койка широко використовується на практиці, вона базується на припущенні, що коефіцієнти ? спадають у геометричній прогресії в міру зростання довжини лагу. Це припущення може бути занадто строгим у деяких ситуаціях, і схема дистрибутивно-лагових моделей Койка не спрацює. У складніших випадках параметри ?_і можна виразити як функцію від і, тривалості лагу (часу) і підібрати відповідні криві, які відображатимуть цю функціональну залежність. Саме цей підхід і запропонований Ш.Альманом. Щоб проілюструвати його метод, повернемося до скінченної дистрибутивно-лагової моделі:

. (1.11)

ЇЇ можна записати в більш компактному вигляді:

. (1.12)

Відповідно до теореми Веєрштрасса Альмон припустив, що ?_і можна апроксимувати поліномом відповідного ступеня від і, тривалості лагу. Наприклад:

. (1.13)

Щоб пояснити, як працює схема Альмона, припустимо, що ?_і змінюються таким чином, що можна обрати поліноміальну апроксимацію другого ступеня (вигляд залежності краще за все обирати за зовнішнім виглядом графіка залежності величини параметра від лагу). Підставляючи (1.13) до (1.12), отримаємо:

. (1.14)

Визначаючи

(1.15)

можна переписати (1.14) як

. (1.16)

У моделі Альмона у залежить від штучно створених змінних Z, а не від початкових змінних х. Зауважимо, що (1.16) можна оцінити за звичайним методом найменших квадратів. Оцінки ? і а_і, отримані таким чином, матимуть усі бажані статистичні властивості, якщо випадкова величина ?_t задовольнятиме припущенням класичної мод...