Оценим математические ожидания, дисперсии, среднее квадратические отклонения и коэффициент корреляции случайных величин и .

Математические ожидания:

корреляционный регресионный математический дисперсия

и

;

Несмещенные дисперсии:

и

;

Смещенные дисперсии:

и

;

Несмещенные средние квадратические отклонения:

и

;

Смещенные средние квадратические отклонения:

и

;

Для вычисления коэффициента корреляции определим несмещенную оценку ковариации по формуле:

Подставив исходные данные, получаем . Оценка ковариации , поэтому можно утверждать, что между переменными существует прямая зависимость.

Теперь используем полученные данные оценки ковариации в нахождении коэффициента корреляции: . Оценка коэффициента корреляции характеризует силу связи между параметрами. Так как устанавливаем, что сила связи между и весьма высокая. Определение оценки коэффициента корреляции дает возможность проверки гипотезы о наличии линейной статистической связи. Если гипотеза о равенстве нулю коэффициента корреляции будет отвергнута, то соответствующие величины связаны линейным соотношением, если же она будет принята, тогда устанавливают, что величины линейно не связаны друг с другом. В данной ситуации , поэтому гипотеза отвергается.

Нанесем точки из таблицы на координатную плоскость (Рис. 1 Исходные данные на координатной плоскости):

Рис. 1 Исходные данные на координатной плоскости

Построим регрессионную модель вида: .

Построение регрессионной модели заключается в оценивании параметров и вида функции , распределения и параметров случайной величины , поэтому регрессионную модель записывают в виде: , где конкретная зависимость называется эмпирическим уравнением регрессии.

Для построения регрессионной модели в качестве эмпирического уравнения регрессии выберем линейную функцию:. Если использовать прямой метод построения линейных регрессионных моделей, тогда необходимо записать эмпирическое уравнение регрессии следующим образом:

 - для уравнения Y на X;

- для уравнения X на Y, где , , , и были вычислены заранее.

Подставив все имеющиеся данные, вычисляем уравнение Y на X (Рис. 2 Графический метод построения линейных регрессионных моделей):

;

Уравнение X на Y (Рис. 2 Графический метод построения линейных регрессионных моделей):

Рис. 2 Графический метод построения линейных регрессионных моделей

После построения линейных регрессионных моделей в качестве эмпирического уравнения регрессии выберем параболу и, используя метод наименьших квадратов, находим коэффициенты , решая систему уравнений:

Уравнение параболической модели: =-0,0887+5,1575-2,6549 (Рис. 3 Графический метод построения параболической регрессионной модели)

Рис. 3 Графический метод построения параболической регрессионной модели

Теперь оценим среднее квадратическое отклонение для обеих моделей: и для линейной, и для параболической.

Линейная модель (l=2, n=8):

1) ,

где l - число неизвестных параметров функции

;

2) ,

где n - число исходных данных

Параболическая модель (l=3, n=8):

,

подставив данные, получаем:

Для параболической регрессии оценим корреляционное отношение. Прежде чем это сделать, необходимо оценить величину, называемую коэффициентом детерминации и характеризующую степень тесноты детерминированной связи:

,

причем и . В корреляционном анализе вместо пользуются оценкой корреляционного отношения: , то есть

.

Подставляем в формулу имеющиеся данные и получаем:

.

Результат вычислений сравним с вычисленным ранее значением . Так как , в качестве можно брать нелинейную функцию.

На следующем этапе вычислений найдем доверительный интервал для условного математического ожидания с доверительной вероятностью 1-б=0,97 при предположении о нормальном условном распределении случайной величины Y.

Сначала в качестве эмпирического уравнения регрессии выберем линейную модель с .

Для вычисления доверительного интервала воспользуемся формулой:

Итак, имеем следующие данные: ; n=8; =2,75; . Так как в таблице квантилей распределения Стьюдента не дано значения соответствующего доверительной вероятности 1-б, вычис...