Использование экономико-математических моделей

Построение экономико-математической модели равновесия, ее экономический анализ. ЭММ распределения кредитных средств между филиалами торговой фирмы, конфликтной ситуации игры с природой, межотраслевого баланса трехотраслевой экономической системы.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

39

Минский Государственный Высший Радиотехнический Колледж

Контрольная работа №1

по дисциплине «Экономико-математические методы и модели»

Помазанко А.К.

гр.94381

Минск 2009

1. Задание 1

Построить ЭММ равновесия для задачи о поиске лучших вариантов использования ресурсов при заданных затратах и ценах.

Задача. Предприятие ежемесячно имеет ресурсы трех типов Р₁, P₂, P₃, объемы которых определяются величинами 2600, 1800, 500. Из этих ресурсов предприятие может организовать производство четырех видов изделий П₁ П₂, П₃, П₄, причем продукция может производиться в любых соотношениях (сбыт обеспечен). Расход i-го ресурса на производство единицы j-го изделия равен a_ij, прибыль от реализации единицы j-го изделия равна c_j.

Выполнить эконометрический анализ полученной модели:

1) привести полученную задачу линейного программирования к каноническому виду. Объяснить смысл введенных балансовых переменных;

2) найти оптимальный ассортиментный план производства, при котором расход ресурсов не превысит имеющегося количества, а суммарная прибыль будет максимальной. Дать экономическую интерпретацию полученного результата;

3) составить двойственную задачу для исходной. Определить, при каких ценах на ресурсы их продажа будет не менее выгодна, чем продажа готовой продукции, вошедшей в оптимальный план;

4) определить дефицитность сырья и увеличение прибыли при изменении его объема на единицу;

5) оценить целесообразность введения в план производства нового вида изделия П₅, если норма затрат i-го ресурса на производство единицы новой продукции равна a_i5, а прибыль от реализации единицы продукции равна 6.

Исходные данные:

c₁ = 2; c₂ = 4; c₃ = 1; c₄ = 2;

a₁₅ = 1; a₂₅ = 3; a₃₅ = 1.

Решение

Обозначим через х₁, х₂, х₃, х₄ - количество единиц продукции соответственно П₁, П₂, П₃, П₄, планируемой к выпуску, а через f - величину прибыли от реализации этой продукции. Тогда, учитывая значения прибыли от единицы продукции П₁, П₂, П₃, П₄ соответственно, суммарная величина прибыли - целевая функция - запишется в следующем виде:

f = 2х₁, + 4х₂ + х₃ + 2х₄ (max). (5.1)

Переменные х₁, х₂, х₃, х₄ должны удовлетворять ограничениям, накладываемым на расход имеющихся в распоряжении предприятия ресурсов.

(5.2)

По смыслу задачи:

x_j ? 0; (j = (5.3)

Соотношения (5.1)-(5-3) образуют экономико-математическую модель задачи. Математически задача сводится к нахождению числовых значений х₁*, х₂*, х₃*, х₄*, удовлетворяющих линейным неравенствам (5.2) и (5.3) и доставляющих максимум линейной функции (5.1).

1) Приведем модель к канонической форме: запишем ограничения задачи в виде равенств. Для этого введем в левые части неравенств дополнительные неотрицательные переменные х₅, х₆, х₇, обозначающие разности между правыми и левыми частями этих неравенств (возможные остатки ресурсов):

f = 2х₁, + 4х₂ + х₃ + 2х₄ (max)

(5.4)

x_j ? 0; (j =

В модели (5.4) переменные х₅, х₆, х₇ являются базисными, а переменные х₁, х₂, х₃, х₄ - свободными.

2) Найдем оптимальный ассортиментный план производства, при котором расход ресурсов не превысит имеющегося количества, а суммарная прибыль будет максимальной.

Составим первую симплекс-таблицу (табл. 5.1):

Таблица 5.1

БП	1	СП
		-x1	-x2	-x3	-x4
x5= x6= x7=	2600 1800 500	1 1 3	5 3 1	1 4 2	5 1 4
f =	0	-2	-4	-1	-2

Все элементы столбца свободных членов положительны, поэтому содержащийся в табл. 5.1 план (0;0;0;0;2600;1800;500) является опорным, но он не оптимален, так как в f -строке имеются отрицательные элементы. Чтобы получить опорный план, более близкий к оптимальному, выполним симплексное преобразование табл. 5.1. С этой целью выберем элементы, участвующие в преобразовании базиса х₅, х₆, х₇ в новый базис. Наибольший по модулю отрицательный элемент (-4) f -строки указывает, что в новый базис следует ввести переменную х₂, т. е. в качестве разрешающего в предстоящем симплексном преобразовании надо взять второй столбец. Чтобы определить переменную, выводимую из базиса, составляем симплексные отношения и выбираем наименьшее из них:

Итак, из базиса надо исключить переменную, стоящую в третьей (разрешающей) строке, т. е. - х₇. На пересечении разрешающих столбца и строки находится разрешающий элемент 1, с которым и выполняется симплексное преобразование. В результате преобразований приходим к другой таблице (табл. 5.2).

Таблица 5.2

БП	1	СП
		-x1	-x7	-x3	-x4
x5= x6= x2=	100 300 500	-14 -8 3	-5 -3 1	-9 -2 2	-15 -11 4
f =	2000	10	4	7	14

Симплексные преобразования -- это правила пересчета элементов симплекс-таблицы при переходе к новому опорному плану и заключаются они в следующем:

1) разрешающий элемент заменяется обратной величиной;

2) остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент;

3) остальные элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент и меняют знаки;

4) все остальные элементы таблицы вычисляются по формуле;

где -- элемент новой таблицы, стоящий в i-й строке j-м столбце на месте элемента ;

- пересчитываемый элемент;

- соответствующий элемент разрешающей строки;

- соответствующий элемент разрешающего столбца;

a_ks - разрешающий элемент.

В f-строке табл. 5.2 отрицательных элементов нет, следовательно, опорный план (0;500;0;0;100;300;0) является оптимальным, а соответствующее ему значение 2000 целевой функции будет максимальным.

Итак, по оптимальному плану следует изготовить 500 единиц продукции П₂, а продукцию П₁, П₃, и П₄ производить не следует (не выгодно). При этом предприятию будет обеспечена максимальная прибыль в размере 2000 ден. ед. Останутся неиспользованными 100 единиц ресурса P₁, 300 единиц ресурса Р₂, а ресурс Рз будет израсходован полностью.

3) Чтобы составить модель двойственной задачи, запишем матрицу исходной задачи (5.1)--(5.3) в следующем виде:

(5.5)

Транспонируе...