Економіко-математичне моделювання

Специфікація економетричної моделі парної регресії. Побудова лінійної, степеневої та показникової економетричної моделі, поняття коефіцієнта регресії та детермінації. Графічне зображення моделювання лінійного зв’язку, застосування F–критерію Фішера.
Краткое сожержание материала:

Міністерство освіти й науки України

Харківський національний економічний університет

Кафедра математики

Індивідуальне навчально-дослідницьке завдання

з дисципліни «Економіко-математичне моделювання»

Перевірила:

викладач кафедри

Норік Л. А.

Виконала:

студентка ІІ курсу 1 групи

факультету МЕВ

Ільченко В.В.

Харків, 2009

ЗАВДАННЯ №1

Специфікація економетричної моделі парної регресії

Завдання:

Побудувати лінійну, степеневу та показникову економетричні моделі за даними, що наведені в таблиці. Оцінити параметри моделі. Зробити економічні висновки.

Попит, тис.грн	Ціна, грн
60,60	205,39
40,30	206,42
50,20	206,23
70,40	205,40
50,80	206,96
60,40	206,54
50,70	205,69
60,90	207,84
60,60	207,09
80,00	209,19
80,70	206,74
80,00	206,84

1) Побудова лінійної моделі парної регресії

Припустимо, що зв'язок - лінійний.

Рівняння лінійної регресії має вид: y_x=a₀+a₁*x

Побудова рівняння лінійної регресії зводиться до оцінки її параметрів, для якого використовують метод найменших квадратів або користуються вбудованою функцією середовища MS Excel ЛИНЕЙН().

Для цього необхідно:

1. На робочому аркуші сформувати таблицю, що містить вихідні дані.



Рис. 1 Вихідні дані

2. Виділяється блок (5 стрічок Х 2 стовпчики) з метою визначення результатів регресійної статистики.

3. За допомогою режиму Вставка викликається функція ЛИНЕЙН(), щаповнюються аргументи та натискається комбінація клавіш <CTRL>+<SHIFT>+<ENTER>.

В результаті цих дій виводиться регресійна статистика відповідно до схеми.

Табл. 1

Схема регресійної статистики функції ЛИНЕЙН()

Значення коефіцієнту а1	Значення коефіцієнту а0
Середньоквадратичне відхилення а1	Середньоквадратичне відхилення а0
Коефіцієнт детермінації	Середньоквадратичне відхилення у
F-статистика	Кількість ступенів свободи
Регресійна сума квадратів	Остаточна сума квадратів

Отримуємо наступні данні



Рис. 2 Поточні результати

Таким чином теоретичне рівняння лінійної регресії має вигляд:

y=-890,82 + 4,61*х

Оскільки а₁>0, то регресія невід'ємна, тобто збільшення значення х веде до збільшення значення у.

Коефіцієнт регресії (а₁ ) свідчить, що при збільшенні ціни на 1 одиницю попит збільшиться на 4, 61 одиниць.

Коефіцієнт детермінації R² = 0, 14, тобто варіація результату у на 14% пояснюється варіацією фактора х, на долю не врахованих факторів залишається 86%.

Отримані результати моделювання лінійного зв'язку можна встановити, використовуючи графічне зображення.

Рис. 3 Графічне зображення

Для визначення якості обраної моделі доцільно розрахувати середню помилку апроксимації:

Тобто в середньому розрахункові значення відхиляються від фактичних на 17,20%, що вказую на невисоку якість моделі.

Рис. 4 Допоміжні розрахунки для обчислення середньої помилки апроксимації.

Щоб визначити на скільки відсотків в середньому за сукупністю зміниться результативна ознака від свого середнього значення за умовою зміни пояснюваного фактора на 1% від свого середнього значення обчислюється середній коефіцієнт еластичності:

Отже, при збільшенні ціни на товари на 1%, попит на нього збільшується на 15,34%

Оцінку значимості рівняння регресії проводимо за допомогою критерія Фішера, для цього порівнюються табличне значення F_табл відповідного рівня значимості, та фактичне F_факт:

F_факт=1,587

При ?=0,05, k₁=m=1, k₂=n-m-1=10

F_табл=4,96

Оскільки F_факт<F_табл, то рівняння регресії з ймовірністю 95% визначається в цілому як статистично не значиме.

2) Побудова показникової моделі

Припустимо, що модель задачі показника, тоді - .

Для побудови моделі виконаємо лінеаризацію, за допомогою логарифмування.

Прологарифмуємо рівняння, щоб привести його до лінійного виду: , звідки маємо: , де , , Отже здійснено перетворення показникової моделі ло лінійної, параметри якої мозна обчислити за допомогою функції ЛИНЕЙН().

Рис. 5 Допоміжні розрахунки параметрів рівняння показникової моделі

Отже, маємо А₁=0,071, А₀=-10,63. Теоретичне рівняння регресії: Y=-10,63 +0,071x

Виконаємо потенціювання рівняння та запишемо його у вигляді показникової функції: = 0.0000241,074^x

Коефіцієнт детермінації R² = 0,12, тобто варіація результату у на 12% пояснюється варіацією фактора х, на долю не врахованих факторів залишається 88%.

Для визначення якості показникової моделі обчислюїмо середню помилку апроксимації:

Тобто в середньому розрахункові значення відхиляються від фактичних на 3,978%, що вказую на високу якість моделі.

Оцінку значимості рівняння регресії проводимо за допомогою критерія Фішера, для цього порівнюються табличне значення F_табл відповідного рівня значимості, та фактичне F_факт:

F_факт=1,379

При ?=0,05, k₁=m=1, k₂=n-m-1=10

F_табл=4,96

Оскільки F_факт<F_табл, то рівняння регресії з ймовірністю 95% визначається в цілому як статистично не значиме.

3) Побудова степеневої моделі

Припустимо,що модель даної задачі - степенева: . Перетворимо до лінійного вигляду за допомогою логарифмування:

. Отже , де , , , . Виконані обчислення на рис.6



Рис. 6 Допоміжні розрахунки параметрів рівняння степеневої моделі

Отже А₁= 14,73, А₀=-74,43.

Теоретичне рівняння регресії: Y=-74,43+14,73х. Виконаємо потенціювання отриманого рівняння, та запишемо його у вигляді степеневої функції:

Коефіцієнт детермінації R² = 0,12, тобто варіація результату у на 12% пояснюється варіацією фактора х, тобто ціни, на долю не врахованих факторів залишається 88%.

Для визначення якості показникової моделі обчислюїмо середню помилку апроксимації:

Тобто в середньому розрахункові значення відхиляються від фактичних на 3,98%, що вказую на високу якість моделі.

Оцінку значимості рівняння регресії проводимо за допомогою критерія Фішера, для цього порівн...