Диференційні рівняння як основа математичного опису енергетичної системи

Система диференційних рівнянь. Математична основа засобу Рунге–Кутта, реалізація програми. Результати системи диференційних рівнянь за засобом Рунге–Кутта. Математична основа способу Мілна. Реалізація контролю працездатності енергетичної системи.
Краткое сожержание материала:

Контрольна робота з теми:

“Диференційні рівняння як основа математичного опису енергетичної системи”

1. Вихідні дані для реалізації системи звичайних диференційних рівнянь

Система диференційних рівнянь:

Початкові умови: А=0, В=1

t(0)=0, x(0)=0, y(0)=0

Задана точність: Е=

Обираємо с=6

1.1 Математична основа засобу Рунге - Кутта

Засіб Рунге -Кутта можливо получити, якщо разкласти у ряд Тейлора значення у(х)

y(x₀+h)=y(x₀)+h(x₀)h³ +hⁿyⁿ(x₀)

x_i=x(0)+Ih

y_i+1=y_i+•(K_1i+2K_2i+2K_3i+2K_4i)

K_1i=h•f(x_i,y_i)

K_2i=h•f(x_i+•y_i+)

K_3i=h•f(x_i+

K_4i=h•f(x_i+h•y_i+K₃)

Блок - схема головного модуля по Рунге - Кутту:

Реалізація програми за засобом Рунге - Кутта:

DECLARE SUB KUTT (T!, X!, Y!, A%, B%, C%, E!, H!, N%, T(), X(), Y(), K1X!, K1Y!, K2X!, K2Y!, K3X!, K3Y!, K4X!, K4Y!)

DECLARE SUB GRAF (T!, X!, Y!, A%, B%, C%, E!, H!, N%, T(), X(), Y(), K1X!, K1Y!, K2X!, K2Y!, K3X!, K3Y!, K4X!, K4Y!)

INPUT "C"; C%

E! = C% * 10 ^ (-4)

H! = E! ^ (1 / 4)

CONST A% = 0: CONST B% = 1

DIM SHARED T!(2000), X!(2000), Y!(2000), K1X!(2000), K1Y!(2000), K2X!(2000), K2Y!(2000), K3X!(2000), K3Y!(2000), K4X!(2000), K4Y!(2000)

T(0) = 0: X(0) = 0: Y(0) = 0

M1: CALL KUTT(T!, X!, Y!, A%, B%, C%, E!, H!, N%, T(), X(), Y(), K1X!, K1Y!, K2X!, K2Y!, K3X!, K3Y!, K4X!, K4Y!)

FOR I% = 0 TO N%

X1(I%) = X(I%)

Y1(I%) = Y(I%)

NEXT I%

H! = H! / 2

CALL KUTT(T!, X!, Y!, A%, B%, C%, E!, H!, N%, T(), X(), Y(), K1X!, K1Y!, K2X!, K2Y!, K3X!, K3Y!, K4X!, K4Y!)

FOR I% = 0 TO N%

IF ABS(X1(I%) - X(I%)) * (16 / 15) > E! THEN

GOTO M1

ELSE GOTO M2

END IF

IF ABS(Y1(I%) - Y(I%)) * (16 / 15) > E! THEN

GOTO M1

ELSE GOTO M2:

END IF

NEXT I%

M2: FOR I% = 1 TO N%

PRINT T(I%), X(I%), Y(I%)

NEXT I%

PRINT "H"; H!

INPUT K!

CALL GRAF(T!, X!, Y!, A%, B%, C%, E!, H!, N%, T(), X(), Y(), K1X!, K1Y!, K2X!, K2Y!, K3X!, K3Y!, K4X!, K4Y!)

END

SUB GRAF (T!, X!, Y!, A%, B%, C%, E!, H!, N%, T(), X(), X1(), K1X!, K1Y!, K2X!, K2Y!, K3X!, K3Y!, K4X!, K4Y!)

SCREEN 2

VIEW (170, 50)-(470, 150)

WINDOW (-1, 1.5)-(1, -1.5)

FOR I% = 0 TO N% - 1

PSET (T(I%), X(I%))

PSET (T(I%), Y(I%))

LINE (T(I%), X(I%))-(T(I% + 1), X(I% + 1))

LINE (T(I%), Y(I%))-(T(I% + 1), Y(I% + 1))

NEXT I%

LINE (-1, 0)-(1, 0)

LINE (0, -1.5)-(0, 1.5)

END SUB

SUB KUTT (T!, X!, Y!, A%, B%, C%, E!, H!, N%, T(), X(), Y(), K1X!, K1Y!, K2X!, K2Y!, K3X!, K3Y!, K4X!, K4Y!)

N% = (B% - A%) / H!

FOR I% = 0 TO N%

T(I%) = T(0) + I% * H!

K1X(I%) = H! * (-2 * X(I%) + 5 * Y(I%))

K1Y(I%) = H! * ((EXP(.5 * Y(I%) + T(I%)) - EXP(-.5 * Y(I%) + T(I%))) / 3 +.5 * Y(I%))

K2X(I%) = H! * (-2 * (X(I%) + K1X(I%) / 2) + 5 * (Y(I%) + K1Y(I%) / 2))

K2Y(I%) = H! * ((EXP(.5 * (Y(I%) + K1Y(I%) / 2) + (T(I%) + H! / 2) - EXP(-.5 * Y(I%) + K1Y(I%) / 2) - (T(I%) + H! / 2))) / 3 +.5 * (Y(I%) + K1Y(I%) / 2))

K3X(I%) = H! * (-2 * (X(I%) + K2X(I%) / 2) + 5 * (Y(I%) + K2Y(I%) / 2))

K3Y(I%) = H! * ((EXP(.5 * (Y(I%) + K2Y(I%) / 2) + (T(I%) + H! / 2) - EXP(-.5 * Y(I%) + K2Y(I%) / 2) - (T(I%) + H! / 2))) / 3 +.5 * (Y(I%) + K2Y(I%) / 2))

K4X(I%) = H! * (-2 * (X(I%) + K3X(I%)) + 5 * (Y(I%) + K3Y(I%)))

K4Y(I%) = H! * ((EXP(.5 * (Y(I%) + K3Y(I%)) + (T(I%) + H!) - EXP(-.5 * Y(I%) + K3Y(I%)) - (T(I%) + H!))) / 3 +.5 * (Y(I%) + K3Y(I%) / 2))

X(I% + 1) = X(I%) + 1 / 6 * (K1X(I%) + 2 * K2X(I%) + 2 * K3X(I%) + K4X(I%))

Y(I% + 1) = Y(I%) + 1 / 6 * (K1Y(I%) + 2 * K2Y(I%) + 2 * K3Y(I%) + K4Y(I%))

NEXT I%

END SUB

Результати реалізації системи диференційних рівнянь за засобом Рунге - Кутта

T	X	Y
0	0	0
0,08	0,0012	0,008075541
0,16	0,00503475	0,0157619
0,23	0,0121	0,02953131
0,31	0,02278947	0,04097326
0,39	0,0349	0,05493775
0,47	0,05233831	0,07522751
0,55	0,0775	0,10523
0,63	0,1089077	0,149089
0,70	0,158	0,20752
0,78	0,2199285	0,2783817
0,86	0,2868	0,37033
0,94	0,3583839	0,469151

Нопт=0,07825423

1.2 Математична основа способу Мілна

Для реалізації засобу Мілна необхідно мати інформацію о попередніх точках. Тому засіб Мілна реалізуєтся після підрахунків по засобу Рунге-Кутта з заданной точностью.

Формула прогнозу:

Визначаємо значення проізводної:

Формула корекції:

Якщо, то закінчуємо розрахунок і даємо поманду на друк результату.

1.3 Реалізація програми за способом Мілна

DECLARE SUB MILN (T!, X!, Y!, A%, B%, H!, N%, E!, C%, X(), Y(), T(), LX3!, LY3!, LX2!, LY2!, LX1!, LY1!, XP!, YP!, XK!, YK!, MPX!, MPY!, MKX!, MKY!, XK1!, YK1!)

DECLARE SUB KUTT (T!, X!, Y!, A%, B%, H!, N%, E!, C%, X(), Y(), T(), KX1!, KY1!, KX2!, KY2!, KX3!, KY3!, KX4!, KY4!)

DECLARE SUB GRAF (T!, X!, Y!, A%, B%, H!, N%, E!, C%, X(), Y(), T(), LX3!, LY3!, LX2!, LY2!, LX1!, LY1!, XP!, YP!, XK!, YK!, MPX!, MPY!, MKX!, MKY!, XK1!, YK1!)

INPUT "C"; C%

E! = C% * 10 ^ (-4)

H! = E! ^ (1 / 4)

CONST A% = 0: CONST B% = 1

DIM SHARED T!(2000), X!(2000), Y!(2000), KX1!(2000), KY1!(2000), KX2!(2000), KY2!(2000), KX3!(2000), KY3!(2000), KX4!(2000), KY4!(2000)

DIM SHARED LX1!(2000), LY1!(2000), LX2!(2000), LY2!(2000), LX3!(2000), LY3!(2000), XP!(2000), YP!(2000), XK!(2000), YK!(2000), MPX!(2000), MPY!(2000), MKX!(2000), MKY!(2000), XK1!(2000), YK1!(2000)

T(0) = 0: X(0) = 0: Y(0) = 0

CALL KUTT(T!, X!, Y!, A%, B%, H!, N%, E!, C%, X(), Y(), T(), KX1!, KY1!, KX2!, KY2!, KX3!, KY3!, KX4!, KY4!)

FOR I% = 0 TO N%

PRINT T(I%), X(I%), Y(I)

NEXT I%

INPUT L!

CALL GRAF(T!, X!, Y!, A%, B%, H!, N%, E!, C%, X(), Y(), T(), LX3!, LY3!, LX2!, LY2!, LX1!, LY1!, XP!, YP!, XK!, YK!, MPX!, MPY!, MKX!, MKY!, XK1!, YK1!)

INPUT P!

CALL MILN(T!, X!, Y!, A%, B%, H!, N%, E!, C%, X(), Y(), T(), LX3!, LY3!, LX2!, LY2!, LX1!, LY1!, XP!, YP!, XK!, YK!, MPX!, MPY!, MKX!, MKY!, XK1...