"Дискретні та неперервні динамічні системи в економіці" в MAPLE 7

Методика визначення динаміки різних об’єктів різними лінійними кінцево-різницевими рівняннями. Характеристичний стан об'єкта у будь-який момент часу зі станами в попередні моменти часу. Порядок вирахування стаціонарної, аналіз стійкості рівноважної ціни.
Краткое сожержание материала:

22

Дискретні динамічні системи

Завдання №1

Динаміка національного доходу Y_t визначається рівнянням

(1.1.0)

де с=0,25; А =1; а=2. Знайти залежність Y_t, якщо Y₀=1

Рішення

1. Варіант початкових даних Y₀=1.

Рішення рівняння (1.1.0) проводимо в пакеті MAPLE7:

> rsolve({y(n)=1/4*y (n_1)+1*(2^n), y(0)=1}, y(n));

>

> R3:=simplify(%);

Результат:

n	Y
0	1,00
1	2,25
2	4,56
3	9,14
4	18,29
5	36,57

Завдання №2

Динаміка національного доходу Y_t визначається рівнянням Самуельсона-Хікса [6]

(1.2.0)

де а=2; b =1,25; c=1. Знайти залежність Y_t, якщо Y₀=0, Y₀=1

Рішення:

1. Динаміка об'єктів різної природи часто описується лінійними кінцево-різницевими рівняннями виду

x_t = F (xt_1, x_t-2,…, xt-n), (1.2.1)

Характеристичний стан об'єкта x_t у будь-який момент часу t зі станами в попередні моменти часу. Рішення рівняння (1.2.1) n_го порядку визначено однозначно, якщо задані n так званих початкових умов. Звичайно як початкові умови розглядаються значення x_t при t = 0, 1,…, n - 1.

Підставляючи початкові значення xn_1,…, x₁, x₀ і t = n як аргументи функції в правій частині (1.2.1), знаходимо x_n; використовуючи знайдене значення й підставляючи тепер x_n, xn_1,…, x₂ x₁ і t = n + 1 як аргументи функції, знаходимо x_n+1, і т. д. Процес може бути продовжений доти, поки не будуть вичерпані всі досліджуємі значення t.

У моделі економічних циклів Самуельсона-Хікса використовуються кінцево-різницеві рівняння виду x_t = a_{1 xt-}1 + a_{2 xt-}2 + f(t) - лінійні кінцево-різницеві рівняння другого порядку, що є приватним видом рівняння (1.2.1).

2. Варіант початкових даних Y₀=0.

Рішення рівняння (1.2.0) проводимо в пакеті MAPLE7 [4]:

> rsolve({f(n)=(2*f (n_1) - (1*1/4)*f (n_2)+2), f(0)=0}, f(n));

Ш Samuelson_Hiks3:=simplify(%);

Як показує аналіз рішення для вирішення рівняння моделі Самуельсона-Хікса потрібно 2 послідовні точки початкових умов національного доходу (n_1, n), тобто 0 та 1 значення для кінечно-різницевої моделі. Тільки тоді з'являється можливість розрахування послідовних значень для точки (n+1). Якщо є тільки одна початкова точка (n_1), то отриманне рівняння моделі залежить не тільки від значення n, але і від значення Y(1).

3. Варіант початкових даних Y₀=1.

Рішення рівняння (1.2.0) проводимо в пакеті MAPLE7:

> rsolve({f(n)=(2*f (n_1) - (1*1/4)*f (n_2)+2), f(0)=1}, f(n));

> Samuelson_Hiks3:=simplify(%);



Як показує аналіз рішення для вирішення рівняння моделі Самуельсона-Хікса потрібно 2 послідовні точки початкових умов національного доходу (n_1, n), тобто 0 та 1 значення для кінечно-різницевої моделі. Тільки тоді з'являється можливість розрахування послідовних значень для точки (n+1). Якщо є тільки одна початкова точка (n_1), то отримане рівняння моделі залежить не тільки від значення n, але і від значення Y(1).

4. Варіант початкових даних Y₀=0, Y₁=1.

Рішення рівняння (1.2.0) проводимо в пакеті MAPLE7:

> rsolve({f(n)=(2*f (n_1) - (1*1/4)*f (n_2)+2), f(0)=0, f(1)=1}, f(n));

Ш Samuelson_Hiks3:=simplify(%);

Завдання №3

Попит D та пропозиція S як функції ціни p задаються виразами

 (1.3.0)

Знайти стаціонарну ціну p_D=S(при умові D=S - вирівнювання попиту та пропозиції) та з'ясувати чи вона є стійкою.

Рішення:

1. Аналіз стійкості рівноважної ціни p_D=S, якщо попит D та пропозиція S завдані функціями:

(1.3.1)

виконується для дискретного підходу за наступним алгоритмом [1].

Нехай ціна близька до рівноважної, при якій попит D дорівнює пропозиції S:

(1.3.2)

Тоді рівняння (1.3.1) в кінцевих різницях можна представити як:

(1.3.3)

З умови рівноваги попиту та пропозиції та умови (1.3.2), маємо наступне перетворення рівнянь (1.3.3):

(1.3.4)

а оскільки

(1.3.5)

то рівняння (1.3.4) трансформується до вигляду:

(1.3.6)

Який перетворюється до наступної форми:

(1.3.7)

Для приросту ціни ?p_i отримане рівняння (1.3.7) є характеристичним однорідним різницевим рівнянням з сталим коефіцієнтом. Умова стійкості його розв'язку має вигляд [1]:

 (1.3.8)

2. Для системи рівнянь (1.3.0) пошук рівноважної ціни P_D=S виконується за схемою:

(1.3.9)

Рішення рівняння (1.3.9) в пакеті MAPLE7 дає рішення:

> solve (- (sqrt(L)*sqrt(L))+sqrt(L)+2=0);

тобто p=4.

3. Знаходимо похідні в точці рівноваги р=4:

(1.3.10)

Оскільки умови стійкості для отриманих значень похідних в точці рівноваги не виконуються (1.3.11), то рівноважне рішення р=4 є нестійким

 (1.3.11)

Неперервні динамічні системи

Завдання №1

Найти розв'язок рівняння Харода-Домара

з початковою умовою Y (t=0) =Y₀; s, A, і - const;

Позначення (згідно з моделлю Харода - Домара роста національного доходу держави у часі) [6]:

Y(t) - рівень національного доходу держави у часі;

- схильність населення до заощаджень (0< s < 1,0), тобто частка національного доходу, яка відкладується в заощадження;

t - час;

i - коефіцієнт індукованих інвестицій при зміні національного доходу ?Y(t), тобто частка приросту національного доходу, яка йде на інвестування економіки;

А - рівень незалежних сталих інвестицій

Рішення:

1. У загальному вигляді модель економічного зростання складається із системи п'яти рівнянь [6]:

1) формула виробничої функції, якою передається обсяг потенційного випуску, тобто випуску продукції за умов повної зайнятості;

2) основна макроекономічна тотожність Y_t=C_t+I_t показує, що вимірник випуску (доходу) Y поділяється в теорії зростання на споживання С та інвестиції І; вимірники державних витрат G і чистого експорту NX окремо в таких моделях не вирізняються, а розподіляються на споживання та інвестиції держави й інших країн світу (тобто вводяться в компоненти С та І);

3) формула розрахунку динаміки обсягу капіталу з урахуванням інвестицій та амортизації основного капіталу (за умови нульового інвестиційного лагу) має вигляд:

K_t=K_t-1+I_t-W_t,

де K_t - запас капіталу наприкінці періоду t;

І_t - інв...