Численные методы диф. уравнений

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,у')=0 или у'=f(x,y). Функция y(x), при подстановке которой уравнение обращается в тождество, называется решением дифференциального уравнения.

Для функционально-дифференциальных уравнений общего вида конструируются численные методы типа Рунге-Кутта и многошаговые методы. Для определения порядка сходимости методов используется техника i-гладкого анализа.

К настоящему времени разработаны эффективные численные методы и соответствующее программное обеспечение для решения различных классов обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и дифференциальных уравнений с частными производными. Прогресс в этом направлении является основой широкого применения таких уравнений в практике. При построении математических моделей динамических процессов широко применяются дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом (называемые также уравнениями с последействием, уравнениями с запаздыванием, функционально-дифференциальными уравнениями).

Хотя к настоящему времени различные аспекты качественной теории функционально-дифференциальных (ФДУ) разработаны почти с такой же полнотой, как и соответствующие разделы теории ОДУ, однако до сих пор не развиты общие подходы к построению численных методов для решения нелинейных ФДУ. Отсутствие таких эффективных численных методов препятствует широкому примемению уравнений с последействием в прикладных исследованиях. В данной работе рассматриваются вопросы построения численных методов типа Рунге-Кутта, а также многошаговых методов для решения ФДУ.