Сопряжённые числа

В этой работе мы рассмотрим ряд ситуаций, в которых число вида a + b?d полезно заменить сопряжённым a – b?d. Мы увидим, как этот простой приём — замена знака перед радикалом — помогает в решении разнообразных задач алгебры и анализа — от нехитрых оценок и преобразований до трудных олимпиадных задач и замысловатых придумок составителей конкурсных экзаменов.

Большинство наших примеров может служить первым знакомством с глубокими математическими теориями (кое-где мы указываем статьи и книги для продолжения знакомства). Среди задач, включённых в статью, две — из Задачника «Кванта» и несколько — из писем читателей, уже испытавших удовольствие от трюков с радикалами и желающих поделиться им с другими.

Неравенство (1) показывает, что число ?2 сравнительно плохо приближается дробями с небольшими знаменателями; аналогичное неравенство (только с другим коэффициентом ?) выполнено не только для ?2, но и для любой «квадратичной иррациональности». Разумеется, (1) выполнено и при всех ? > ?3 + ?2, но константа ?3 + ?2 здесь не наименьшая из возможных. Вопросы о приближениях квадратичных иррациональностсй рациональными числами — далеко продвинутая и важная для приложений область теории чисел ([3], [4]); с приближениями числа ?2 мы ещё встретимся ниже (см. упражнение4).

Можно, конечно, найти отдельно сумму членов левой части, не содержащих ?5 (она должна быть равна 2), и отдельно — коэффициент при ?5 (он должен равняться 1). Но что делать с полученной громоздкой системой неясно. Вместо этого воспользуемся (4) и заменим плюс перед ?5 на минус!