Предельные теоремы. Характеристические функции

Теория вероятностей изучает закономерности массовых случайных явлений. Если явление носит единичный характер, то теория вероятностей не может предсказать исход события.

При большом числе испытаний характеристики случайных событий и случайных величин практически мало изменяются, т.е. становятся неслучайными. Это обстоятельство позволяет использовать результаты наблюдений над случайными явлениями для предсказания результатов будущих испытаний.

В дальнейшем мы ознакомимся с двумя типами предельных теорем: законом больших чисел и центральной предельной теоремой. Закон больших чисел играет очень важную роль в практическом применении теории вероятностей к явлениям природы и техническим процессам, связанных с массовым производством.

Тогда неравенство Чебышева гласит: вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания будет по абсолютной величине не меньше любого положительного числа , ограничена величиной , т.е.

Так как под интегралом в (1) находится неотрицательная величина, то, выбросив из интервала интегрирования отрезок АВ, мы значение интеграла не увеличим, т.е.

Если Х – дискретная случайная величина, то доказательство неравенства Чебышева проводится по проделанной выше схеме с той лишь разницей, что вместо интеграла нужно записать сумму.