Основные понятия математического анализа

1. Определение неопред. интеграла. Если ф-ия F(x) – первообр для ф-ии f(x) на промежутке [a,b], то мн-о ф-ий F(x)+C, где С =const, назыв неопред интегр от ф-и f(x) на этом промежутке: ?f(x)dx=F(x)+C При этом ф-я f(x) назыв подынтегр ф-ей, f(x)dx – подынтегр выр-ем, х – переменной интегр-я.

5. Выр. ?dF(x) Неопред интеграл от дифф-ла некоторой ф-ии = сумме этой ф-ии и произвольной постоянной ?dF(x)=F(x)+C.Так как ?dF(x)= F’(x)dx, то ?F’(x)dx=F(x)+C. Теорема: Если ф-я F(x) является первообр ф-ии f(x) на отрезке [a,b], то мн-во всех первообр ф-ии f(x) задается формулой F(x)+C, С=const.

6. Если k-const, ненулевое число, то ?kf(x)dx=k?f(x)dx –k можно вынести из-под знака интеграла. Пусть F(x) – первообр для ф-ии f(x), т.е. F’(x)=f(x), тогда kF(x)-первообр для ф-ии kf(x): (kF(x))’=kF’(x)=kf(x).

10. Вывод формулы замены переменного в неопред интегр (подстановка). Пусть ф-я x=?(t) опред-на и диф-ма на некотором промежутке Т и Х-мн-во значений этой ф-ии, на кот. определена ф-я f(x). Тогда, если на мн-е Х ф-я f(x) имеет первообр, то на мн-ве Т справедлива фор-ла: ?f(x)dx= ?f[?(t)]?’(t)dt Док:Пусть F(x)-первообр для f(x) на мн-ве Х. Рассмотрим на мн-ве Т сложную ф-ю F[?(t)]: (F[?(t)])’= Fx’[?(t)]?’(t) =f[?(t)]?’(t), т.е. ф-я f[?(t)]?’(t) имеет на мн-ве Т первообр F[?(t)] >?f[?(t)]?’(t)dt=F[?(t)]+C,Замечая что F[?(t)]+C=F(x)+C= ?f(x)dx, => получаем ?f(x)dx= ?f[?(t)]?’(t)dt.

12. Определение дробно рациональной ф-ии. Понятие правильной и неправильной рациональной фун-ии. Простейшие дроби вида 1-4. Фун-ия вида Pn(x)=anx+ an-1x+…+ a1x+a0, n – натуральное число. ai, i=0, n=const называется мн-ном n-ой степени.