О неопределенных бинарных квадратичных формах

Теория квадратичных форм впервые была развита французским математиком Лагранжем, которому принадлежат многие идеи в этой теории, в частности, он ввел важное понятие приведенной формы, с помощью которого им была доказана конечность числа классов бинарных квадратичных форм заданного дискриминанта. Затем эта теория была значительно расширенна Гауссом, который ввел много новых понятий, на основе которых ему удалось получить доказательства трудных и глубоких теорем теории чисел, ускользавших от его предшественников в этой области.

Вначале нашей работы приводятся предварительные общие сведения о бинарных квадратичных формах. Во втором параграфе, посвященном периодам неопределенных квадратичных форм поставлены и решены два вопроса о двусторонних формах (теоремы 1,2). В третьем параграфе дается элементарное доказательство известной оценки для числа приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм заданного дискриминанта. Наконец, в последнем параграфе устанавливаем, что диагональные формы одного и того же положительного дискриминанта не эквивалентны (теорема 3) и применяем этот результат к оценке снизу для числа классов в каждом роде неопределенных квадратичных форм (теорема 4).

В алгебраической теории квадратичных форм (т.е. в теории квадратичных форм над полями) рассматриваются формы, у которых второй коэффициент без множителя , т.е.

Но в арифметической теории квадратичных форм (т.е. в теории форм над кольцами и в первую очередь над кольцом целых чисел) более предпочтительной является запись вида (1).