Математический анализ. Практикум

Числовая функция определена на множестве D действительных чисел, если каждому значению переменной поставлено в соответствие некоторое вполне определенное действительное значение переменной y, где D – область определения функции.

Определение 1. Пределом функции при называется число b, если для любого ( – сколь угодно малое положительное число) можно найти такое значение аргумента , начиная с которого выполняется неравенство .

Определение 2. Пределом функции при называется число b, если для любого ( - сколь угодно малое положительное число) существует такое положительное число , что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

Теорема. (Связь между бесконечно малой величиной и бесконечно большой величиной.) Если функция бесконечно малая при (), то функция является бесконечно большой величиной при (). И, обратно, если функция бесконечно большая при (), то функция является бесконечно малой величиной при ().

Правило 1. Чтобы найти предел в точке функции, непрерывной в этой точке, надо в функцию, стоящую под знаком предела, вместо аргумента x подставить его предельное значение .

Нахождение предела функции в этих случаях называется раскрытием неопределенности. Для раскрытия неопределенности приходится, прежде чем перейти к пределу, проводить преобразование данного выражения. Для раскрытия неопределенностей используют различные приемы.