Математический анализ

Производная характеризует скорость изменения функции при изменении ее аргумента. Она является основным инструментом исследования функций в математическом анализе, в частности, используется для отыскания точек экстремума: в этих точках производная либо равна нулю, либо не существует. Через производную определяется понятие эластичности функции, применяемое в экономических приложениях.

Операция вычисления производной называется дифференцированием, а функция, имеющая производную в точке, – дифференцируемой в этой точке. Если функция имеет производную в каждой точке интервала , то она называется дифференцируемой на этом интервале.

Заметим, что на практике при вычислении производных редко прибегают к определению. Вместо этого используют таблицу, содержащую выражения для производных всех основных элементарных функций, а также правила дифференцирования, позволяющие находить производную суммы, разности, произведения, частного и композиции функций.

Заметим, что производная , называемая также первой производной функции , сама является функцией аргумента . Производная этой функции называется второй производной функции и обозначается , то есть . Аналогично можно ввести третью и более высокие производные.

Пример. Найдем угол наклона касательной к графику функции в точке . Поскольку , то в силу формулы (2) получаем . Следовательно угол , то есть касательная параллельна оси .

Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если для всех из некоторой окрестности точки , , выполнено неравенство (). Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции.