Математические отношения и их свойства

Декартовым или прямым произведением двух множеств А и В (обозначается А ( В) называется множество всех таких упорядоченных пар (a, b), что a ( A и b ( В. Пусть, например, А = {a, b, c} и B = {l, m}. Тогда А ( В = {(a, l), (b, l), (c, l), (a, m), (b, m), (c, m)}. Это понятие распространяется на случай с более чем одним сомножителем. Декартово произведение множеств А1, А2, … , Ап (обозначается А1 ( А2 ( … ( Ап) есть множество всех векторов (а1, а2, … , ап) размерности п таких, что a1 ( A1, a2 ( А2, … , aп ( Ап.

Декартово произведение п одинаковых сомножителей А ( А ( … ( А обозначается символом А и называется п-ой степенью множества А. При этом А = А. Примером декартова произведения является R ( R = R – множество точек на плоскости. Здесь элементы х ( R и у ( R служат координатами некоторой точки на плоскости. Другим примером является множество R точек в трехмерном евклидовом пространстве. Обобщением этих понятий является п-мерное пространство.

Любое подмножество R ( А1 ( А2 ( … ( Ап декартова произведения п множеств называется п-арным отношением. При п = 1, 2, 3 имеем унарное, бинарное, тернарное отношения соответственно. Унарное отношение на множестве А представляет собой подмножество множества А.

Проекция элемента (a, b) множества А ( В на множество А есть элемент а. Аналогично, элемент b является проекцией элемента (a, b) множества А ( В на множество В. Проекцией множества Е ( А ( В на А называется множество всех тех элементов из А, которые являются проекциями элементов из Е на множество А. Для множеств А и В, рассмотренных выше, проекцией элемента (2, 4) на множество А является элемент 2, а проекцией множества {(1, 2), (2, 2), (2, 4)} – множество {1, 2}.