Когомологии де Рама

Теория гомологий и когомологий топологических пространств играет важную роль в алгебраической топологии. Для дифференциальных многообразий имеется два варианта теории гомологий и когомологий, а именно гомологии и когомологии с произвольным носителем и компактным носителем. В качестве когомологий многообразия берутся когомологии комплекса дифференциальных форм с произвольными и компактными носителями, а в качестве гомологий берутся гомологии комплекса конечных дифференциальных цепей и комплекса бесконечных дифференциальных цепей. Кроме того, вычисляются нульмерные и n-мерные когомологии обоих типов для n-мерных многообразий.

В пункте 1.1 рассматриваются определение р-мерного симплекса и его свойства. В пункте 1.2 определяется сингулярный р-симплекс на дифференцируемом многообразии, дифференцируемые р-цепи и бесконечные дифференцируемые р-цепи и их границы. В пункте 1.3 рассматриваются р-мерные группы гомологий и когомологий, для конечных и бесконечных цепей, а также – интеграл от р-формы по р-цепям. В пункте 1.4 приводится теорема Стокса.

Раздел два посвящен вычислению когомологий. В пункте 2.1 вычисляются когомологии на компактном многообразии, в пункте 2.2 – когомологии с компактным носителем на многообразии.

По определению , то формула (1.1) действительно определяет отображение . Это отображение очевидным образом продолжается до дифференцируемого отображения симплекса в пространстве в пространство .

Определение. Дифференцируемым сингулярным р-симплексом на М называется отображение , которое может быть продолжено до дифференцируемого отображения некоторой окрестности симплекса в в многообразие М.