Інтегральні характеристики векторних полів

Нехай в області задані скалярне поле і векторне поле , причому функції мають в області неперервні частинні похідні другого порядку. Тоді і є диференційовними векторними полями, а – диференційовним скалярним полем.

Отже, якщо функція є розв’язком рівняння (4), то, поклавши , , отримаємо зображення поля у вигляді (2), де – потенціальне поле, – соленоїдальне поле.

Розглянемо векторне поле , визначене в просторовій області , і деяку кусково-гладку орієнтовну поверхню . Нехай – поле одиничних нормалей на обраній стороні поверхні .

Якщо взяти іншу сторону поверхні (змінити орієнтацію), то вектор змінить напрям на протилежний; тому скалярний добуток , а отже, і потік (поверхневий інтеграл (5)) змінить знак.

Якщо – швидкість рухомої рідини, то є кількістю (об’ємом) рідини, яка протікає через поверхню у напрямі нормалі за одиницю часу. Ця величина називається у фізиці (гідродинаміці) потоком рідини через поверхню . Тому і у випадку довільного векторного поля інтеграл (5) називається потоком векторного поля через поверхню .

Кожен доданок у правій частині рівності (6) залежить від вибору системи координат, проте їх сума, тобто потік , очевидно, не залежить від вибору системи координат.