Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Разность двух векторов и определяется по формуле , где – вектор той же длины, что и вектор , но противоположно направленный. Чтобы найти вектор-разность нужно отложить векторы и из общей точки, соединить концы векторов вектором, направленным от «вычитаемого» к «уменьшаемому» (то есть от к ) (рис.1б). Построенный вектор и будет искомой разностью.

Определение. Базисом на плоскости (в пространстве) называется упорядоченная пара (тройка) неколлинеарных (некомпланарных) векторов. Любой вектор однозначным образом раскладывается по базису. Коэффициенты разложения называются координатами этого вектора относительно данного базиса. Векторы образуют базис в декартовом координатном пространстве Oxyz.

Решение. Используем формулу . Определим координаты векторов и , учитывая, что при сложении векторов мы складываем одноименные координаты, а при умножении вектора на число – умножаем на это число каждую координату этого вектора, а: , .

Пример 3. Параллелограмм построен на векторах и , где , , . Вычислить длину диагоналей этого параллелограмма, угол между диагоналями и площадь параллелограмма.

Геометрический смысл смешанного произведения: объем параллелепипеда, построенного на векторах , , (рис.4), а объем образованной ими треугольной пирамиды находятся по формулам .

Уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости имеет вид: , , где – нормальный вектор плоскости (т.е. перпендикулярный плоскости), а коэффициент пропорционален расстоянию от начала координат до плоскости.