Антипростые числа

На XI Республиканском турнире юных математиков, проходившем в декабре 2009 года в Минске, одной из исследовательских тем была задача об антипростых числах.

N), если каждый его простой делитель входит в его разложение на множители с показателем не меньшим, чем р. Назовем два натуральных числа взаимно антипростыми, если их наибольший общий делитель является антипростым числом. Антипростые числа являются естественным обобщением фигурирующих в проблеме бельгийского математика Э. Каталана правильных степеней (1844 г.), которую пытались решать такие выдающиеся математики как Лео Гебракус, Френикль де Бесси, Л.

Эйлер, В. А. Лебег, Т. Нагель и др. В 2003 году румынский математик П. Михайлеску доказал справедливость гипотезы Каталана. Тематика данной исследовательской работы является достаточно новой. При проведении анализа источников информации непосредственно ссылок на задачу об антипростых числах в такой постановке было найдено две – это статья В. Сендерова, Б. Френкина "Гипотеза Каталана" в журнале "Квант" № 4 2007 года и задача М2032 об антипростых числах – близнецах В.

Сендерова из того же журнала. В процессе выполнения данной работы потребовались более углубленные знания по теории чисел, которые были получены из таких источников информации, как Оре О. "Приглашение в теорию чисел", Виноградов И.М. "Основы теории чисел" и др.

Решение. Среди подряд идущих четырех натуральных чисел два – чётные. Их разность равна 2, т.е. при делении на 4 одно из них даёт в остатке 2, другое 0. Следовательно, одно из этих чисел делится на но не делится на , т.е. не антипростое. Заметим также, что эти два четных числа не могут быть взаимноантипростыми и антипростыми порядка p.