Определение погрешности вычислений при численном дифференцировании. Алгебраический порядок точности численного метода как наибольшей степени полинома. Основной и вспомогательный бланк для решения задачи Коши. Применение интерполяционной формулы Лагранжа.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Астраханский Государственный Университет

Реферат на тему:

Численные методы анализа

Оглавление

• Введение
• 1. Погрешность вычислений
• 2. Порядок точности
• 3. Суммарная погрешность
• 4. Численное дифференцирование на основе интерполяционной формулы Лагранжа
• 5. Численное интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка
• Список литературы

Введение

Основными задачами являются вычисление производной на краях таблицы и в ее середине. Для равномерной сетки формулы численного дифференцирования "в начале таблицы" можно представить в общем виде следующим образом:

где -- погрешность формулы. Здесь коэффициенты и зависят от степени n использовавшегося интерполяционного многочлена, то есть от необходимой точности (скорости сходимости к точному значению при уменьшении шага сетки) формулы. Коэффициенты представлены в таблице

n	a0	a1	a2	a3	a4	a5	b
1	- 1	1	0	0	0	0	1
2	? 3	4	- 1	0	0	0	2
3	? 11	18	? 9	2	0	0	6
4	? 25	48	? 36	16	? 3	0	12
5	? 137	300	? 300	200	? 75	12	60

1. Погрешность вычислений

Погрешность вычисляется по формуле

где h -- шаг сетки, а точка о расположена где-то между i-тым и (i + n)-тым узлами. Примером может служить известная формула (n = 2)

.

При n = 1 формула может быть получена и из определения производной. Эта формула известна под названием формулы дифференцирования вперед.

Формулы "в конце таблицы" могут быть представлены в общем виде

в которых коэффициенты берутся из уже приведенной таблицы. В частности, при n = 1 получается известная формула дифференцирования назад.

Методы численного дифференцирования применяются, если исходную функцию f(x) трудно или невозможно продифференцировать аналитически. Например, эта функция может быть задана таблично. Задача численного дифференцирования - выбрать легко вычисляемую функцию (обычно полином) ?(x,a?), для которой приближенно полагают y'(x)=?'(x,a?) .

Численное дифференцирование - некорректная задача, так как отсутствует устойчивость решения. При численном дифференцировании приходится вычитать друг из друга близкие значения функции. Это приводит к уничтожению первых значащих цифр, т.е. к потере части достоверных знаков числа. А так как значения функции обычно известны с определенной погрешностью, то все значащие цифры могут быть потеряны. На графике кривая (1) соответствует уменьшению погрешности дифференцирования при уменьшении шага; кривая (2) представляет собой неограниченно возрастающий вклад неустранимой погрешности исходных данных - значений функции y(x). Критерий выхода за оптимальный шаг при его уменьшении - решение: зависимость результатов вычислений становится нерегулярно зависящей от величины шага.

Пусть ?(x,a?) введена как интерполяционный многочлен Ньютона. В этом случае для произвольной неравномерной сетки:

,

для i = 0, 1…n-1, интерполяция полиномом первой степени.

,

интерполяция полиномом второй степени.

Минимальное число узлов, необходимое для вычисления k-й производной, равно k+1.

Оценка погрешности при численном дифференцировании может быть осуществлена по формуле,

,

где n - число узлов функции, k - порядок производной.

На практике чаще всего используются упрощенные формулы для равномерной сетки, при этом точность нередко повышается. Часто используются следующие формулы для трех узлов:

, где h = x1 - x0 = const.

.

Исходя из общего вида интерполяционного полинома можно вывести формулы для более высокого порядка точности или для более высоких производных.

2. Порядок точности

Алгебраический порядок точности численного метода (порядок точности численного метода, степень точности численного метода, порядок точности, степень точности) -- наибольшая степень полинома, для которой численный метод даёт точное решение задачи.

Другое определение: говорят, что численный метод имеет порядок точности , если его остаток равен нулю для любого полинома степени , но не равен нулю для полинома степени .

Очевидно, что метод левых (или правых) прямоугольников имеет порядок точности 0, метод Рунге -- Кутты (решения дифференциалных уравнений) четвёртого порядка -- 4. Широко известный метод Гаусса по пяти точкам имеет порядок точности 9. Менее очевидно, но легко показывается, что порядок точности метода трапеций -- 2, а метода Симпсона -- 4.

Наивысшая возможная алгебраическая степень точности для методов численного интегрирования достигается для метода Гаусса.

Для метода Рунге -- Кутты решения ОДУ порядок точности имеет другое значение -- максимальное число первых членов ряда Тейлора полученного решения, совпадающих с действительным решением ОДУ

3. Суммарная погрешность

Окончательный результат многократного измерения содержит в себе как случайную, так и приборную погрешности. Случайная погрешность уменьшается с увеличением количества отдельных измерений, а приборная погрешность не меняется, оставаясь в пределах ±q. При выполнении многократного измерения желательно получить столько отдельных измерений, сколько необходимо для выполнения соотношения

(??x)_случ<<0

В таком случае погрешность окончательного результата будет целиком определена лишь приборной погрешностью. Однако чаще встречается ситуация, когда случайная и приборная погрешности близки по значению, а поэтому обе влияют на окончательный результат. Тогда их необходимо учитывать совместно и за суммарную погрешность принимают

. (1)

Поскольку случайную погрешность обычно оценивают с доверительной вероятностью 0,68 , а 0 - оценка максимальной погрешности прибора, то можно считать, что выражение (1) задает доверительный интервал также с вероятность не меньшей 0,68. При выполнении однократного измерения оценкой погрешности результата служит ??x = 0/3, учитывающая только предельно допустимую приборную погрешность.

Встречаются ситуации, когда случайную и приборную погрешности удается сравнить без вычислений (??x)_случ. Это возможно, если результаты отдельных измерений не выходят за пределы допустимой приборной погрешности:

(x_max- x_min)20,

где x_min, x_max - наибольшее и наименьшее значения измеряемой величины. Повышение точности многократного измерения в таком случае невозможно, а погрешностью окончательного результата будет 0/3 .

4. Численное дифференцирование на основе интерполяционной формулы Лагранжа

дифференцирование алгебраический полином интерполяционный

Итак, применяя для численного дифференцирования на отрезке [а; Ь] интерполяционный полином, естественно строить на этом отрезке систему равноотстоящих узлов а = х₀ < x₁ < х₂ < ... < x_n-1 < х_n = b, которыми отрезок делится на n равных частей: х_i+1 - x_i= h = const (i = 0, 1, 2,….,n-1); шаг интерполирования при этом имеет значение h = (b - а) / n. В этом случае многочлен Лагранжа строится на равноотстоящих узлах и имеет более удобный вид. Примем подстановку:

П_n...