Чисельні методи розв’язання алгебраїчних рівнянь
Краткое сожержание материала:
Размещено на
Лекція 2
Чисельні методи розв'язання алгебраїчних рівнянь
Лекція 2. Чисельні методи розв'язання алгебраїчних рівнянь
Мета: розглянути та порівняти чисельні методи для розв'язування алгебраїчних рівнянь.
Нехай дано рівняння
де функція визначена та неперервна на інтервалі . Коренем рівняння називається будь-яке значення , що перетворює функцію в нуль (). Припустимо, що рівняння (*) має лише ізольовані корені, тобто для кожного кореня існує окіл, що не містить інших коренів цього рівняння.
Наближене знаходження ізольованих дійсних коренів рівняння (*) зазвичай складається з двох етапів:
1) Відокремлення коренів, тобто встановлення якомога менших проміжків , в яких міститься тільки один корінь рівняння (*);
2) Уточнення наближених коренів, тобто їх доведення до заданого порядку точності.
Приклад. Відокремити корені рівняння
Розв'язування
У даному випадку Оскільки для всіх значень , то функція зростає на всьому проміжку Корінь вважається відділеним, якщо вказано скінчений проміжок на якому він знаходиться. Методом проб знаходимо проміжок для якого , тобто на кінцях відрізка функція приймає значення різних знаків. Для даного обчислюємо значення функції при деяких значеннях аргументу.
Оскільки то на відрізку кореня немає; оскільки то корінь знаходиться на відрізку
1. Графічний спосіб розв'язку рівнянь
Дійсні корені рівняння (*) наближено можна визначити як абсциси точок перетину графіка функції з віссю (рис. 1.1а). На практиці часто буває зручніше рівняння (*) замінити рівносильним йому рівнянням
де функції і простіші, ніж функція . Тоді, побудувавши графіки цих функцій, шукані корені отримаємо в якості абсциси точок перетину цих графіків (рис. 1.1б).
а) б)
Рис. 1.1. Графічний метод знаходження коренів рівняння
Приклад 1.1. Розв'язати рівняння .
Розв'язування
Запишемо рівняння у вигляді .
Побудувавши параболу та пряму , помітимо, що вони не перетинаються (рис. 1.2) - значить рівняння не має коренів.
Рис. 1.2 Графічний розв'язок рівняння
Приклад 1.2. Медичні дослідження шансів отримання значних травм хребта у банджі-стрибунів показали відчутний ріст травматизму при швидкості вільного падіння, що перевищує 36 м/с після 4 секунд польоту. Припустимо, керівник компанії з банджі-джампінгу хоче визначити масу, при якій досягається цей критерій за умови, що коефіцієнт аеродинамічного опору (drag coefficient) дорівнює 025 кг/м.
Застосувати графічний підхід для визначення максимальної маси банджі-стрибуна. Гравітаційне прискорення дорівнює 9.81 м/с2.
Розв'язування
Відомо, що наступний аналітичний розв'язок можна використовувати для передбачення швидкості падіння, як функції часу
(1.1)
Альтернативний погляд на задачу передбачає віднімання від обох сторін рівняння. Нова функція матиме вигляд
Після цього можна зрозуміти, що відпоіддю на запитання є значення , при якому функція буде дорівнювати нулю.
Побудова графіку, що відображатиме залежність між швидкістю падіння та масою у середовищі Matlab вимагатиме наступного скрипту:
>> cd = 0.25; g = 9.81; v=36; t = 4;
>> mp = linspace(50, 200);
>> fp = sqrt(g*mp/cd).*tanh(sqrt(g*cd./mp)*t)-v;
>> plot (mp, fp), grid
Рис. 1.3 Графічний метод знаходження кореня рівняння (1.1)
Функція перетинає вісь маси між 140 та 150 кг. Візуальний огляд графіку забезпечує грубу оцінку кореня в 145 кг. Коректність графічної оцінки можна перевірити шляхом підстановки
>> sqrt(g*145/cd)*tanh(sqrt(g*cd/145)*t)-v
ans = 0.0456
Її результат, як видно, близький до 0. Також перевірити це можна шляхом підстановки даного значення в рівняння (1.1) з даними, що задавалися спочатку.
>> sqrt(g*145/cd)*tanh(sqrt(g*cd/145)*t)
ans = 36.0456
Даний результат близький до бажаної швидкості падіння в 36 м/с.
Графічний метод має обмежену практичну цінність у зв'язку зі своєю невеликою точністю. Проте його можна використовувати для грубої оцінки коренів, як початкове наближення для методів, що будуть розглядатися в даній лекції. Разом з тим графічні інтерпретації корисні для розуміння властивостей функцій та передбачення підводних каменів для чисельних методів.
2. Метод половинного поділу
Нехай корінь рівняння
відокремлено на відрізку . Це означає, що і зберігає знак (рис. 2.1).
Рис 2.1. Графічна інтерпретація методу половинного ділення
У якості початкового наближення кореня візьмемо точку - середину відрізка
Якщо , то - шуканий корінь рівняння. Інакше з двох отриманих відрізків і обираємо той, на кінцях якого функція набуває значення різних знаків.
Новий відрізок знову ділиться пополам і далі проводимо ті ж дії. Довжина кожного нового відрізку вдвоє менше попереднього, тобто за кроків зменшиться у разів. Отже, слід відмітити досить повільну (лінійну) збіжність методу. Проте основною перевагою цього методу є його простота та здатність забезпечити практично будь-яку точність.
Обчислення припиняються, якщо довжина відрізку стане менше заданої похибки
Блок-схема методу зображена на рис. 2.2.
Приклад 2.1. Методом половинного поділу уточнити найбільший корінь рівняння з точністю на відрізку [0.5, 1].
ньютон збіжність корень рівняння
Рис 2.2. Блок-схема методу половинного ділення
Розв'язування
Виділимо найбільший корінь: ; . .
Цей проміжок назвемо проміжком існування кореня. Проведемо уточнення кореня
Згідно критерію бачимо, що
Точка називається пробною точкою.
Продовжуючи цей процес, на шостій ітерації отримаємо:
Метод половинного поділу називають методом дихотомії або бісекції. У загальному випадку пробна точка обирається випадково з проміжку існування кореня.
У результаті послідовного звуження даного проміжку прийдемо до нерівності
З одного боку, вона дозволяє стверджувати, що послідовність має границю - шуканий корінь . З іншого боку, звідси можна підрахувати кількість кроків (ітерацій) методу половинного поділу, яка буде достатньою для отримання кореня із заданою точністю . Для цього потрібно знайти натуральне , що задовольняє нерівності
Приклад 2.2. Корінь певного рівняння відокремлено на проміжку [2, 3]. Визначте, скільки кроків методу половинного поділу потрібно виконати для уточнення кореня з точністю до .
Отже, 7.
3. Метод хорд
Даний метод за таких же умов забезпечує швидше знаходження кореня, ніж метод половинного поділу. Для цього відрізок ділиться не пополам, а у співвідношенні . Геометрично метод хорд еквівалентний заміні кривої хордою, що проходить через точки і . Цей процес зображено на рис. 3.1.
Нові співвідношення будуть мати наступний вигляд
де
Надалі цей прийом буде застосовано до одного з відрізків [a, x1] або [x1, b], на кінцях якого функція має протилежні знаки. Аналогічно знаходимо друге наближення і т. д.
Рис 3.1 Геометрична інтерпретація методу хорд.
Рівняння хорди має вигляд
Враховуючи припущення, що - корінь рівняння (), маємо
Також припускаючи, що на відрізку друга похідна зберігає постійний знак, метод хорд зводиться до двох варіантів
1) З рис. 3.1а видно, що точка залишається нерухомою, а наближається до кореня . Тому
(3.2)
Остаточно перетворивши рівняння, отримаємо
(3.3а)
2) З рис. 3.1б видно, що точка залишається нерухомою, а точка наближається до кореня . Тому рекурентне рівняння набуває вигляду
(3.3б)
Як обрати нерухому точку? Рекомендується в якості нерухомої брати ту точку, в якій виконується нерівність
Приклад 3.1. Відокремити корені рівняння аналітично й уточнити один з них методом хорд з точністю до 0,01.
Розв'язання
Маємо функцію . Похідна ; . Складемо таблицю знаків функції :
Рівняння має один дійсний корінь, що лежить на проміжку . Для того, щоб уточнити корінь, знаходимо другу похідну ; на проміжку виконується нерівність . Для обчислень використаємо формулу (3.3а), де ; ; .
Результати обчислень розміщуємо в таблиці.
|
Другие файлы:
Розв’язання алгебраїчних рівнянь. Методи простих ітерацій та Ньютона Розв’язання алгебраїчних рівнянь в радикалах Програмування і математичне моделювання Системи лінійних алгебраїчних рівнянь та основні методи їх розв’язування Диференціальні рівняння вищих порядків |
© 2006-2015 Студенческий сайт ТНУ им. В.И.Вернадского, TNU.in.UA